Descripción de los datos: medidas de dispersión 1-1 Capítulo cuatro Descripción de los datos: medidas de dispersión OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: UNO Calcular e interpretar la amplitud de variación, la desviación media, la variancia, y la desviación estándar de los datos originales. DOS Calcular e interpretar la amplitud de variación, la variancia y la desviación estándar de datos agrupados. TRES Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión.

Descripción de datos: medidas de dispersión 1-1 Capítulo cuatro continuación Descripción de datos: medidas de dispersión OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: CUATRO Entender el problema de Chebyshev y la regla normal o empírica, y su relación con un conjunto de observaciones. CINCO Calcular y explicar los cuartiles y la amplitud de variación intercuartílica. SEIS Elaborar e interpretar los diagramas de caja. SIETE Calcular y entender el coeficiente de variación y el coeficiente de asimetría.

Variancia de la población 4-5 Variancia de la población La varianza de la población para datos no agrupados es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas respecto a la media de la población.

4-6 EJEMPLO 2 Las edades de la familia Álvarez son de 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población?

Desviación estándar poblacional 4-8 Desviación estándar poblacional La desviación estándar poblacional () es la raíz cuadrada de la variancia de la población. Para el EJEMPLO 2, la desviación estándar poblacional es 15.19 (raíz cuadrada de 230.81).

4-9 Variancia muestral La variancia muestral estima la variancia de la población.

4-10 EJEMPLO 3 Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuentre la variancia. X = 37/5 = 7.40 = 21.2/(5-1) = 5.3

Desviación estándar muestral 4-11 Desviación estándar muestral La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestral. En el EJEMPLO 3, la desviación estándar de la muestra es = 2.30

Medidas de dispersión: datos no agrupados 4-12 Medidas de dispersión: datos no agrupados Para datos no agrupados, el Rango es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos. Rango = valor mayor - valor menor EJEMPLO 4: una muestra de cinco graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. El Rango es $31 000 - $22 000 = $9 000.

Variancia muestral para datos agrupados 4-13 Variancia muestral para datos agrupados La fórmula de la variancia para datos agrupados usada como estimador de la varianza poblacional es: donde f es la frecuencia de clase y X es el punto medio de la clase.

Interpretación y usos de la desviación estándar 4-15 Interpretación y usos de la desviación estándar Regla empírica: para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1 de la media (); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2 de la media (); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3 de la media ().

Curva en forma de campana que muestra la relación entre  y  3 2 1 m +1 +2 +3 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

4-17 Dispersión relativa El coeficiente de variación es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, expresada como porcentaje: Donde s es la desviación estándar. Donde es la medía aritmética

4-18 Asimetría Asimetría (sesgo) es la medida de la falta de simetría en una distribución. El coeficiente de asimetría se calcula mediante la siguiente fórmula: 3(media - mediana) desviación estándar Sk =

Amplitud intercuartílica 4-19 Amplitud intercuartílica La amplitud intercuartílica es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1. Amplitud intercuartílica = tercer cuartil - primer cuartil = Q3 - Q1

4-20 Primer cuartil El primer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos. donde L = límite de las clases que contienen Q1, CF = frecuencia acumulada que precede a la clase que contiene a Q1, f = frecuencia de la clase que contiene Q1, i= tamaño de la clase que contiene Q1.

4-21 Tercer cuartil El tercer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos: donde L = límite inferior de la clase que contiene a Q3, CF = frecuencia acumulada precedente a la clase que contiene a Q3, f = frecuencia de la clase que contiene a Q3, i = tamaño de la clase que contiene a Q3.

Desviación cuartílica 4-22 Desviación cuartílica La desviación cuartílica es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil, Q3, y el primero, Q1. QD = [Q3 - Q1]/2

4-23 EJEMPLO 5 Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14; por lo tanto, la desviación cuartílica es 14/2 = 7.

4-24 Amplitud cuartílica La amplitud cuartílica es la distancia entre dos percentiles establecidos. La amplitud cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el 10º y 90º percentiles.

4-26 Diagramas de caja Un diagrama de caja es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un conjunto de datos. Se requieren cinco tipos de datos para construir un diagrama de caja: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor máximo.

4-27 EJEMPLO 6 Con base en una muestra de 20 entregas, Domino’s Pizza determinó la siguiente información: valor mínimo = 13 minutos, Q1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos, Q3 = 22 minutos, valor máximo = 30 minutos. Desarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega.

EJEMPLO 6 continuación mediana mín Q1 Q3 máx 4-28 EJEMPLO 6 continuación mediana mín Q1 Q3 máx 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32