MATEMÁTICA II Gonzales Caicedo Walter Orlando www.goncaiwo.wordpress.com Pimentel, Febrero de 2010

Relaciones

Producto Cartesiano Definición Relación binaria Algunas relaciones notables.

¿Qué es un producto cartesiano? Sean A y B conjuntos no vacíos Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B. A x B = {(a,b) / a  A y b  A } Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b} Entonces: A x B = {(1, a);(2, a);(3, a);(1, b);(2, b);(3, b)}

Producto cartesiano Los pares ordenados (a,b)  A  B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas que representan los elementos de B. Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo se muestra a continuación B A b a 1 2 3

Reflexiona 1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A? 2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de n(A x B)? Piénsalo y contesta Solución: No son iguales ... Ejemplo: sean los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) } 2) n(A x B)= n(A). n(B) (¿Puedes decir por qué?) Además n(A). n(B) = n(B). n(A) = n(B x A) Entonces: n(A x B)= n(B x A)

Ejemplo Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B. Representa gráficamente al subconjunto R = { (a, b)  A x B / a + b  3} B 1 2 3 Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano 1 2 3 A

¿Qué es una relación binaria? Sean A y B conjuntos no vacíos Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B. En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A. Ejemplo: Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Son relaciones de A en B: 1) Ø 2) {(a,i), (a,u)} 3) {(a, i)} 4) A x B

Notación Ejemplos: 1) En N definimos la relación R así: Si (a,b)  R decimos que “a está relacionado con b” y lo denotamos por a R b. Ejemplos: 1) En N definimos la relación R así: “a R b sii a es el doble de b”. Algunos elementos de la relación son: (2, 1) (8, 4) (2500, 1250), (120, 60) 2) En N se define la relación R por: “x R y sii x divide a y” Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

Conteo de relaciones Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B? Sí !. Supongamos n(A)=m y n(B)=r. Sabemos que n(AxB)=m.r, por lo tanto, n[P(AxB)] = 2m.r Entonces pueden definirse hasta 2m.r relaciones incluyendo Ø. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {-1, -2} calcular n[P(AxB)]. Entonces: n[P(AxB)] = 23.2 = 26 = 64 hay 64 relaciones de A en B.

Dominio y rango de una relación Ejemplo: Sea Gráficamente: D(S) = R R(S) = R

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3} Sea R la relación: Entonces: R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} D(R) = {1,2} R(S) = {2,3} Gráficamente:

Relaciones definidas en R Ejemplos: Sea la siguiente relación en R: R1 = {(x, y) / 2x – 3y – 12 = 0} Calcular el dominio y rango. Solución: Si x = 0  2(0) – 3y – 12 = 0  y = -4.  El par (0, -4)  R Si y = 0  2x – 3(0) – 12 = 0  x = 6.  El par (6, 0)  R Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, -4) y (6, 0) se tiene: Dom(R1) =  y Ran(R1) = 

Sea la siguiente relación en R: R2 = {(x, y) / x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0} Calcular el dominio y rango. Solución: x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0  (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4  (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 La ecuación de la circunferencia expresada como (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 está en su forma ordinaria, donde su centro es el punto C(2, -3) y su radio mide 2. Dom(R2) = [0, 4] Ran(R2) = [-1, -5]

Sea la siguiente relación en R: R3 = {(x, y) / x = -y2 + 4y – 10} Calcular el dominio y rango. Solución: Tenemos: x = -y2 + 4y – 10  x + 6 = -(y2 – 4y + 4)  x + 6 = -(y – 2)2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el punto V(-6, 2), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda Dom(R3) = <-, -6] Ran(R3) = 

CLASES DE RELACIÓN Ejemplo: RELACIÓN REFLEXIVA: R es una relación refleja en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo:   a  A  a R a Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) } RELACIÓN SIMÉTRICA: R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:  a, b  A  a R b  b R a  A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACIÓN ANTISIMÉTRICA: R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:   a, b  A  a R b  b R a  a = b  Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) } RELACIÓN TRANSITIVA: R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente:   a, b, c  A  a R b  b R c  a R c  R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

Funciones

FUNCIONES DEFINICIONES: Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente. Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango). Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen: f  AxB. (x,y)  f  (x,z)  f  y = z ó  x Df; ! y  Rf / (x,y)  f  y = f(x).

De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada. Dominio de f: Df = {x A/ ! y  B  y = f(x) } Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x)  B/ xA}

Definición de función B a b c d e A

Definición de función Dominio a b c d e Codominio

Definición de función Dominio Codominio e d c b a Rango

A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio Esto no es función A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

Esto no es función A parcial nabla raíz existe B

FUNCIONES ESPECIALES F. LINEAL F. CONSTANTE Regla de Correspondencia: y = f(x) = ax+b Donde a, b son constantes. Df = R Rf = R Regla de Correspondencia: y = f(x) = b Df = R Rf = {b}

F. VALOR ABSOLUTO F. IDENTIDAD Regla de Correspondencia: y=f(x)=x Regla de Correspondencia: y=f(x)=x Es una función lineal donde a=1, b=0 Df = R Rf = R

F. CUADRÁTICA F. RAÍZ CUADRADA Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c. La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k

Clasificación de las Funciones Inyectiva: es cuando cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el codominio o de otra manera cuando los elementos del codominio tienen una o ninguna contra imagen. B A 1 2 3 4 a b c f

Sobreyectiva: es cuando el rango es igual al codominio o de otra forma, cuando todos los elementos del codominio tienen una o más contra imágenes. B A 1 2 3 4 a b c f

Biyectiva: es cuando cada uno de los elementos del codominio tiene una contra imagen y nada más que una. Una función es biyectiva si es sobreinyectiva e inyectiva al mismo tiempo. B A a b c f 1 2 3

Función Inversa: si f es una función biyectiva de A en B, es decir, f:A B entonces cada elemento de B tiene una y nada mas que una contra imagen en A, por lo tanto la relación de B con A es una función denominada función inversa de la anterior y se denota f-1:A B Función Directa Función Inversa A 1 2 3 f-1 a b c B B A a b c f 1 2 3

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