Cocientes Notables 4° SECUNDARIA

¿Qué son cocientes notables? Son divisiones exactas, es decir, el residuo es cero. Son divisiones de la forma: xn ± yn ; n  Z  n  2 x ± y Los cocientes notables son divisiones algebraicas en las cuales el cociente se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de división.

Cociente de la forma x2  y2 x + y Calculamos la división por la forma habitual: Por productos notables: x2 – y2 = (x + y) (x  y) x2  y2 x + y x2 + xy + xy  y2  xy+ y2 x  y Diferencia de cuadrados. Entonces: x2  y2 x + y x  y  Aplicamos: 16x4  36 (4x2)2  (6)2 4x2+ 6 4x2  6   Obtenemos el cociente. 4x2+ 6 Expresamos en forma de cociente notable.

Cociente de la forma x2  y2 x  y Calculamos la división por la forma habitual: Por productos notables: x2 – y2 = (x  y) (x + y) x2  y2 x  y x2 + xy + xy  y2  xy+ y2 x + y Diferencia de cuadrados. Entonces: x2  y2 x - y x + y  Aplicamos: 9x6  49 (3x2)2 (7)2 3x2 7   3x2 + 7 Obtenemos el cociente. 3x3  7 Expresamos en forma de cociente notable.

Cociente de la forma x3  y3 x  y Calculamos la división por la forma habitual: Por productos notables: x3  y3 x  y x3 – y3 = (x y)(x2 + xy + y2)  x3 + x2y + x2y  x2y + xy2 + xy2 y3  xy2 + y3 x2 + xy + y2 Diferencia de cubos Entonces: x3  y3 x  y  (x2 + xy + y2) Aplicamos: 8  x3 (2)3 (x)3 2 x 22 + (2)(x) + x2 4 + 2x + x2    Obtenemos el cociente. 2  x El segundo término es + (2)(x) = +2x. Expresamos en forma de cociente notable.

Cociente de la forma x3  y3 x + y Calculamos la división por la forma habitual: Por productos notables: x3 + y3 x + y x3  x2y  x2y + x2y + xy2 + xy2+ y3  xy2  y3 x3 y3 = (x + y)(x2 xy + y2) x2  xy + y2 Diferencia de cubos Entonces: x3  y3 x + y  (x2 xy + y2) Aplicamos: x6+125 (x2)3+ (5)3 x2+5 (x2)2  (x2)(5) + 52 x4  5x2 + 25    Obtenemos el cociente. x2 + 5 El segundo término es  (x2)(5) =  5x2 . Expresamos en forma de cociente notable.

En resumen: Según la forma de la división, los casos de cocientes notables son: El exponente del primer término disminuye uno en uno a partir de (n-1) hasta ser 0 inclusive. Cuando n es par o impar El exponente del segundo término irá aumentado de uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive. Caso 1 xn  yn x  y  xn -1y0 + xn -2y1 + xn -3y2 + xn - 4y3 + … + x0yn -1 Cuando n es par: Caso 2 Cuando el divisor es una diferencia, todos los términos son positivos. Cuando el divisor es una suma de dos términos, los signos de los términos del cociente se alternan ( +,  , +,  , …) xn  yn x + y  xn-1y0  xn-2y1 + xn-3y2  xn-4y3 + …  x0yn-1 Cuando n es impar: Caso 3 xn + yn x + y  xn-1y0  xn-2y1 + xn-3y2  xn-4y3 + … + x0yn-1

Actividades Identifica los cocientes notables y enciérralos: a7 + b7 a  b x12 y18 x2 + y3 a3  b3 a  b 100a4  49 10 a2 - 7 p4 + q4 p  q x9 + 64 x3+ 4 36a4 + 64 6a2  8 Explica a un compañero por qué los otros no son cocientes notables.

Algunos ejemplos: p5  q5 p5-1 q 0 +p5-2 q1+p5-3q2+p5-4q3+p5-5q4 p  y  p4 + p3q1 + p2q2 + p1q3 + q4  El cociente tiene 5 términos. 16x4  625y8 2x +5y2 (2x)4  (5y2)4 2x +5y2 (2x)3 (5y2)0  (2x)2 (5y2)1+ (2x)1(5y2)2 (2x)0(5y2)3 b)    8x3  20x2y2 + 50x1y4  125y6 El cociente tiene 4 términos. c) a7 + b7 a + b  a7-1 b 0  a7-2 b1 + a7-3b2 a7-4b3 + a7-5b4 a7-6b5 + a7-7b6  a6  a5 b1+ a4b2 a3b3 + a2b4 a1b5 + b6 El cociente tiene 6 términos. xa + y b no es un cociente notable, porque: x y xn+ y n xn-1+ xn-2y1 + xn-3y2 +… + yn-1+2yn  Si xa  y b es un cociente notable, xp yq se cumple: n ; n es el número de elementos  a b p q