Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas

Linear algebra with applications. Third Edition W. Keith Nicholson PWS Publishing company

Linear algebra. Lang Linear algebra. Jim Hefferon Linear algebra. Hoffman y Kunze Calculus. Apostol Applied mathematics. Olver y Shakiban Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki Mathematical methods in physics and engineering. Dettman Mathematical methods for physicists. Arfken

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

El Álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, los vectores, los espacios vectoriales, y las transformaciones lineales entre los espacios vectoriales.

Los espacios vectoriales son fundamentales en las matemáticas modernas; el Álgebra lineal es ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta como en el análisis funcional. El Álgebra lineal tiene una representación concreta en la Geometría Analítica. Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias naturales y en las ciencias sociales, ya que muchos modelos no lineales pueden ser aproximados por modelos lineales.

La historia del Álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 y En 1843, William Rowan Hamilton (quien inventó el nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones. En 1844, Hermann Grassman publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en 1857, introdujo las matrices (2x2), una de las ideas fundamentales del Álgebra Lineal.

1.Soluciones y operaciones elementales 2.Eliminación gaussiana 3.Ecuaciones homogéneas

Discusión

Hasta aquí llegue el martes 14 de septiembre del 2010 después de una clase de 1:30 horas

Segunda clase martes 21 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición 2.Multiplicación de matrices 3.Matrices inversas 4.Matrices elementales

La suma de dos matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de dos matrices

¡La multiplicación de matrices no es conmutativa!

No se pueden multiplicar El número de columnas del primer factor debe ser igual al número de renglones del segundo factor

Gráfica

Hasta aquí llegue el martes 21 de septiembre del 2010 después de dos clases de 1:30 horas

Tercera clase martes 28 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición 2.Multiplicación de matrices 3.Matrices inversas 4.Matrices elementales

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

Espacios vectoriales reales Espacio vectoriales complejos A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba

Hasta aquí llegue el martes 28 de septiembre del 2010 después de tres clases de 1:30 horas

Cuarta clase martes 5 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

Repaso de la cuarta clase martes 5 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

Espacios vectoriales reales Espacio vectoriales complejos A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba

Fin del repaso de la cuarta clase martes 5 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

No hay forma de que una combinación lineal de ellos de cero

No hay forma, sin hacerlos cero, que una combinación lineal de ellos se anule

Un espacio vectorial real que tiene definido un producto escalar es llamado ESPACIO EUCLIDIANO REAL

Un espacio vectorial complejo que tiene definido un producto escalar es llamado ESPACIO EUCLIDIANO COMPLEJO O ESPACIO UNITARIO

Normalmente se dice ESPACIO EUCLIDIANO y punto, independientemente del campo sobre el cual esté definido.

Hasta aquí llegue el martes 5 de octubre del 2010 después de CUATRO clases de 1:30 horas

Quinta clase martes 12 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

Repaso de la quinta clase martes 12 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

FIN del repaso de la quinta clase martes 12 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

Una base ortonormal de un espacio vectorial es un conjunto de vectores ortonormales, que genera el espacio.

Hasta aquí llegue el martes 12 de octubre del 2010 después de CINCO clases de 1:30 horas

Sexta clase martes 26 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

Repaso de la sexta clase martes 26 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

FIN del Repaso de la sexta clase martes 26 de octubre del 2010 de 12:30 a 14:00

De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Conjunto de seres humanos

A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos

A cada ser humano se le asocia su padre biológico Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico Conjunto de seres humanos

Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio

a b c d e

a b c d e Dominio

a b c d e Codominio

a b c d e Dominio Codominio Rango

A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

A parcial nabla raiz existe B

A parcial nabla raiz existe B

Definimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.

El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

xf(x) xf(x)

xf(x) , , , , xf(x)

xln(x)x

Dominio

Contradominio

Imagen o rango de S

Transformaciones lineales Matrices

Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal

Hasta aquí llegue el martes 26 de octubre del 2010 después de SEIS clases de 1:30 horas

Septima clase martes 9 de noviembre del 2010 de 12:30 a 14:00

1.Sistemas de ecuaciones lineales 2.Álgebra de matrices 3.Determinantes 4.Geometría de los vectores 5.Espacios vectoriales 6.Valores propios y diagonalización 7.Transformaciones lineales 8.Espacios euclidianos

Repaso de la séptima clase martes 9 de noviembre del 2010 de 12:30 a 14:00

Transformaciones lineales Matrices

Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal

Repaso de la séptima clase martes 9 de noviembre del 2010 de 12:30 a 14:00

Transformaciones lineales Matrices

A todo mapeo lineal se le puede asociar una matriz

Se llaman propiedades intrínsecas a las que no dependen del sistema de coordenadas. Si la matriz asociada a la transformación lineal es diagonal, muchas de estas propiedades pueden ser descubiertas fácilmente.

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos diagonales

Las matrices similares tienen El mismo determinante La misma traza Los mismo valores propios El mismo polinomio característico El mismo polinomio minimal El mismo rango

Calcular todos los valores propios Calcular los vectores propios correspondientes Formar la matriz C con los vectores propios Aplicar C -1 AC

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Ejemplo 1 Ejemplo 2