Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIONES Y SISTEMAS Tema 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT SISTEMAS CUADRÁTICOS Tema 2.10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT SISTEMAS DE 2º GRADO Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas es de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado. Ejemplos x2 – 3x = y + 5 x2 – 3y2 – 3x = y + 5 3x + 2y = 7 x2 + 5x = 4y + 5 x – 3y = 5 x2 + 2xy – 3y2 = 7 3x + 2xy = 4 3x2 + 7y2 – 3x = y + 5 Véase que el monomio “2xy” presente es de segundo grado, lo que hace que la ecuación correspondiente sea también de segundo grado, y por extensión el sistema del que forma parte también sea de segundo grado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT M. de SUSTITUCIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: x2 + y2 = 10 (1) x + y = 4 (2) De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – y Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y)2 + y2 = 10 Operando queda : 2 y2 – 8y + 6 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = 1 1 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – 1 = 3 , o sea x = 1 , x = 3 1 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Gráfica del ejemplo anterior @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT M. de IGUALACIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: y2 - x = 8 (1) x + y = 4 (2) De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” : x = y2 - 8 (1) x = 4 – y (2) Se igualan ambas expresiones: y2 - 8 = 4 – y  y2 + y – 12 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = - 4 1 2 Llevando ese valor a la ecuación (2), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – (- 4) = 8 , o sea x = 1 , x = 8 1 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Gráfica del ejemplo anterior @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT M. de REDUCCIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: x2 + y2 - 2 x = 8 (1) x2 + y2 - y = 7 (2) Restando a la (1) la (2) , queda: x2 + y2 - 2 x - x2 - y2 + y = 8 - 7 , y – 2x = 1 (1) De la nueva ecuación (1) despejo “y”: y = 1 + 2x Y sustituyo en la (2), quedando: x2 + (1+2x)2 – 1 - 2x = 7  x2 + 1 + 4x + 4x2 – 1 – 2x = 7  5x2 + 2x – 7 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Teníamos el sistema: y – 2x = 1 (1) x2 + y2 - y = 7 (2) ….  5x2 + 2x – 7 = 0 Resolviendo: - 2 +/- √[22 – 4.5.(-7)] - 2 +/- 12 1 x = ----------------------------- = ------------ = 2.5 10 - 7/5 De la (1): y = 2x + 1 y = 2.1 + 1 = 3 ; y = 2.(-7/5) + 1 = - 9 / 5 Solución_1: x1 = 1, y1 = 3 Solución_2: x2 = - 7/5, y2 = - 9/5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Gráfica del ejemplo anterior @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Tema 2.11 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Sistemas logarítmicos Resuelve el sistema: Log x—Log y = 2 Log x + 2 Log y = 5 Aplicando las propiedades de los logaritmos: Log x / y = 2  x/y = 102 Log x + Log y2 = 5  log x.y2 = 5 x/y = 100  x = 100.y x.y2 = 105  100.y. y2 = 105 100. y3 = 105  y3 = 103  y = 10  x = 1000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Sistemas logarítmicos Resuelve el sistema: Log x + Log y = 2 2.Log x + 2 = Log y Aplicando las propiedades de los logaritmos: Log x .y = 2  x.y = 102 Log x2 + Log 100 = Log y  Log 100.x2 = Log y x.y = 100  x.(100.x2) = 100 100.x2 = y  100. x3 = 100  x3 = 1  x = 1  y = 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Sistemas exponenciales Resuelve el sistema: x + y 5 = 1 2x – y 5 = 625 Al ser 1 = 50 y 625 = 54 x + y 0 5 = 5 2x – y 4 5 = 5 x + y = 0  x = - y 2x - y = 4  2(-y) – y = 4  - 3y = 4  y = - 4/3 x = 4/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Sistemas exponenciales Resuelve el sistema: x+3 y 4 = 2 2x+3 x+y 3 = 9 Al ser 4 = 22 y 9 = 32 2(x+3) y 2 = 2 2x+3 2(x+y) 3 = 3 2x+6 = y 2x+3 = 2x +2y  3 = 2y  y = 1,5  x = (y – 6)/2 = - 2,25 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Sistemas exponenciales Resuelve el sistema: x+1 y 2 + 3 = 35 x y – 1 2 – 3 = – 5 Por las propiedades de las potencias: x y 2 . 2 + 3 = 35 x y 2 – 3 / 3 = – 5 Cambio de variables: x y 2 = t ; 3 = z Queda: 2.t + z = 35 t – z/3 = – 5 Por Sustitución: z=35 – 2t t – (35 – 2t)/3 = – 5 3t – 35 + 2t = – 15 5t = 20  t = 4 z = 35 – 2.4 = 27 Deshaciendo el cambio: Si t = 4  x = 2 Si z = 27  y = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT