P1. Junio 2006 Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z) válido en el entorno de cada uno de sus puntos singulares. Respuesta. Puntos singulares, z = 0, z = 2.
Entorno de z = 0; 0 < |z| < 2 4
es analítica en |z – 2| < 2 => Admite desarrollo de Taylor:
b) Determinar la región del plano en la que la función es analítica. Respuesta. Determinación principal no analítica en: w1 = 0; Re(w1) < 0; Im(w1) = 0 π/z no analítica en z = 0.
n=0,±1,±2...
k=0,±1,±2...
c) Calcular la integral siendo C : |z| = 4, orientado en sentido positivo. Respuesta. C : |z| = 4 → Circunferencia de centro z = 0 y radio 4 orientada positivamente. analítica sobre C y su exterior (apartado b)
g(z) analítica en z = 0
z = 0 es un polo de orden 2 z = 0 singularidad evitable de F(z) Res[F(z), z = 0] = 0
d) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1]. Respuesta. Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-periódica. Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de modo que: 1. sea continua en [-L,L]. 2. sea continua a trozos en [-L,L].
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1. Im (z) -1 1 Re (z)