Indice 1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral. 2) Operaciones con sucesos. 3) Enfoques de la Probabilidad. 4) Axiomas de Kolmogorov. 5) Axiomas de la Probabilidad subjetiva. 6) Resultados básicos con probabilidades. 7) Variables aleatorias. 8) Educción de probabilidades. Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Estimación de probabilidades Estimación objetiva (frecuencia relativa) y subjetiva (expertos) Asignación de probabilidades: tarea compleja. Métodos rigurosos y sistemáticos (requisitos) Métodos directos e indirectos (estrategias) Probabilidades para variables discretas y continuas (herramientas) Morgan y Henrion (1990) 2 fuentes estrategias de adquisición de conocimiento probabilístico 1.Pregunta directa al experto 2.Inferencia indirecta mediante comparaciones (escenarios artificiales)

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Datos. Momentos (Pearson) Los k parámetros  son funciones de los momentos m 1,…m k Los momentos muestrales definen k ecuaciones. Estimaciones insesgadas (E[  ’]=  ), efiecientes (min Var(  )), consistentes (E[  ’ n ]   )y robustas ((1-  )f(X)+  g(X)). ECM(  ’) = E[(  -  ’) 2 ] EMV (Fisher) Maxima verosimilitud, estimar los parámetros de la distribución que maximizan la probabilidad de la muestra observada. Se supone que los datos son variables aleatorios identicamente distribuidas e independientes. Estimaciones insesgadas (E[  ’]=  ) Otros métodos.

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Discretas Asignación directa (simple y poco fiable) Asignación basada en apuestas (motivación económica, punto de indiferencia, favorable  desfavorable  favorable  …. Convergencia) Asignación basada en loterías (comparar sorteos con uno de referencia) Representación con árboles de sucesos Continuas Utilizar los métodos anteriores para asignar ciertas probabilidades acumuladas y ajustar una función de distribución Solicitar ciertos cuantiles (percentiles y cuartiles) y ajustar la F

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Otros métodos - mejoras Método de la probabilidad: sesgo de confianza y anclaje, construir la F en ciertos intervalos, contrastar y revisar los resultados Método de las alturas relativas: escalas termométricas. P j, f(x) Método de Raiffa-Schlaifer: moda, hipótesis de apuntamiento elevado y probabilidad baja de valores alejados de la moda Descomposición y asignación de probabilidades: puede ser en principio más sencillo asignar probabilidades condicionadas y tendencias. Árboles de probabilidad – escenarios condicionantes Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Fases de educción Adquisición de conocimiento (PROBABILISTICO) – Inteligencia Artificial. Marco: encuesta / entrevista + diseño y preparación y ejecución y análisis 1. Motivación: importancia y propósito 2. Estructuración: definición de las variables y distribuciones de interés. Escalas, tablas, parametros, características, funciones,… Dependencias. 3. Condicionamiento: identificar sesgos y las causas (experto, técnicas,…) Tarea compleja en tiempo. SRI: fases 1, 2, 3 y 4. Codificación: valores extremos (sesgos), redundancia (inconsistencias), revisión, sensibilidad del experto al nivel de información o evidencia 5. Verificación: refleja la asignación las creencias del experto? Cuestionario derivado del modelo de probabilidad asignado. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Comparativa de métodos. - Depende del problema, del experto/decisor - Recomendado: utilizar variso métodos. Contraste de Consistencia de los resultados o juicios. Las inconsistencias pueden resolverse o no en el marco del modelo. Contraste de Coherencia entre sucesos complementarios. El espacio muestral tiene probabilidad 1. Calibración: ensayar el método/técnica en un problema sencillo no trivial antes de atacar la asignación en el problema real Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Sucesos muy raros Asignación de probabilidades pequeñas de sucesos sin precentes. Estimaciones subjetivas muy sensibles al sesgo (infra/sobrestimación) Difícil discriminar ordenes de magnitud en las probabilidad pequeñas. Procedimientos de asignación: descomposición e identificación de factores que determinan escenarios con probabilidades significativas del suceso raro Arboles de sucesos: árboles de probabilidad, etapa ~ factor. El Cálculo de Probabilidades suministra la probabilidad global a partir de las de los factores. Sucesos raros (sr)  hojas Arboles de fallos: descomposición causal del suceso raro. Causas  hojas. Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación sr 1 ¬sr sr 2 ¬sr sr o y c1c1 c3c3 c2c2 c 32 c 31

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades Heurísticas y sesgos. 1.Disponibilidad de la heurística. Recuerdos fuertes, Imaginación, correlaciones falsas 2. Representividad de la heurística. Ignorancia de las tasas frecuencia, secuencias de artefactos o patrones previos, ignorancia de la regresión a la media, conjunción de falacias 3. Ajuste de la heurística. Insuficiencia, sobreestimación de conjunción de eventos, infraestimación de disyunciones de eventos. 4. Otros sesgos en los juicios. Sobre estimar los sucesos deseables, propagar la covarianza entre sucesos Calidad de los juicios probabilísticos: expertos reales, problemas reales no de laboratorio, asignación comprensible, motivación, frecuencia ~ probabilidad Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Asignación basada en apuestas (motivación económica, punto de indiferencia, favorable  desfavorable  favorable  …. Convergencia) Ejemplo: el EURIBOR supera el 4% en 2007  A Se plantean dos apuestas simétricas al experto: Donde x e y representa el dinero que está dispuesto a ganar/perder al apostar Apuesta1Gana x si AApuesta2Pierde x si A Pierde y si ¬AGana y si ¬A Si ninguna de las apuestas es preferida la indiferencia implica que los valores esperados (la suma ponderada con la probabilidad de las perdidas/ganancias) serán iguales

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Apuesta por A Apuesta por ¬A A ¬A A x -y -x y Indiferencia o equilibrio entre las apuestas  Ganancias esperadas en la Apuesta 1: xP(A) + (-y)P(¬A) = Ganancias esperadas en la Apuesta 2: (-x)P(A) + yP(¬A), donde P(A) = 1 – P(¬A)  P(A) = y/(x+y), x = yP(¬A)/P(A) Por ejemplo: x=100, y=10  P(A)=0.091

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Asignación basada en loterías (comparar sorteos con uno de referencia) Ejemplo: el EURIBOR supera el 4% en 2007  A Se plantean dos sorteos con premios S1 -- un ordenador portatil y S2 – un televisor de plasma (suponemos que S1 es preferido a S2) Lotería1 gana S1 si A Lotería2 gana S1 con probabilidad p gana S2 si ¬A gana S2 con probabilidad 1-p La segunda es la lotería de referencia Se interroga al experto sobre la posible indiferencia entre las loterias para algún valor de p especificada mediante una rueda de la fortuna o una urna de bolas. p 1-p

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Métodos de asignación Loteria1 Lotería2 A ¬A p 1-p S1 S2 S1 S2 Se propone un valor inicial para p. Si prefiere la Lotería1 se debe incrementar p Si prefiere la Lotería2 se debe disminuir p Si no prefiere ninguna P(A) = p. Si asignamos a un sistema completo de sucesos {A i } n i=1 se hace la asignación secuencialmente y al final se normaliza la  n i=1 p i = 1 p 1-p p ……..

Modelización de la incertidumbre Educción de probabilidades. Discretización Características de variables aleatorias continuas Simulación, integración, discretización Discretización: perdida de información mínima Por niveles en cada nivel la media o mediana Uniforme, ajuste de error No Uniforme, para variables aleatorias multidimensionales Divergencia de Kullback y Leibler