LOS NÚMEROS REALES

Historia Los primeros números en aparecer en la historia fueron los números que van del 1,2,3,... etc. y por esta razón son conocidos como los números naturales. El primer registro que se obtiene sobre la utilización del cero fue en el año 36 a.C. por la civilización Maya.

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C Alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS  Q Q` Z N

R c i2=-1 Conjuntos Numéricos R = Q U Q’ CONJUNTOS NUMERICOS Números Reales Es el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales R = Q U Q’ Conjuntos Numéricos c Números Complejos Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-1

Q Q’ Conjuntos Numéricos Q Q’ CONJUNTOS NUMERICOS p Números Racionales Es el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo. p q Q = { ,q Є Z Λ q ≠ 0} Conjuntos Numéricos Q’ Números Irracionales Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros Q’ Entre los mas conocidos esta el π

N Z Conjuntos Numéricos N Z CONJUNTOS NUMERICOS = {1, 2, 3, 4, ….} Números Naturales Es la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar. N = {1, 2, 3, 4, ….} Conjuntos Numéricos Z Números Enteros Los números enteros abarca los números negativos incluyendo eL cero y los números positivos. Y se representa Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO

Números Reales En Matemáticas, los números reales son los que abarcan a los números racionales y los números irracionales. El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1,000 a. C. El conjunto de los números reales es representado con la letra: R

Relación de igualdad Existe una relación que presenta los números reales que son conocidas como relaciones de igualdad y estas son de utilidad para la demostración de algunos teoremas, estas relaciones dicen: Sean a, b, c ϵ a) Si a = b, entonces b = a b) Si a = b, y b = c, entonces a = c c) si a + c denota al numero real que resulta de sumar a y c, y ac denota al numero real que resulta de multiplicar a y c, entonces a = b implicará que a + c = b + c y que ac = bc

Axiomas Es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas “verdades evidentes” porque permiten deducir las demás formulas.

Axiomas de Números Reales En el campo de los números reales son seis los principales axiomas que se toman, y a través de su uso y postulación, permiten el desarrollo de los teoremas que estructuran una parte de las matemáticas.

Axiomas de Números Reales Axioma 1. Si a, b ϵ R, entonces a + b, ab ϵ R (Ley de cerradura para la suma y el producto) Axioma 2 Si a, b ϵ R, entonces a+b = b+a y ab = ba (Ley de conmutatividad)

Axiomas de Números Reales Axioma 3 Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)c (Ley de asociatividad) Axioma 4 Si a, b, c ϵ entonces a(b + c) = ab + ac (Ley de distributividad)

Axiomas de Números Reales Axioma 5 Existen 0, 1 ϵ R, con 0 ̸= 1, tales que: si a ϵR, entonces a+0 = a y a·1 = a (0 se llamará Neutro aditivo y 1 se llamará Neutro multiplicativo) Axioma 6 Si a ϵ R, existe a1 ϵR tal que a + a1 = 0 y si a ϵR con a ̸= 0, entonces existe a2 ϵR tal que a · a2 = 1 (Existencia de los inversos)

Teorema Es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema generalmente posee un numero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas.

Corolarios Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.

Teorema I i) Si a, b, c ϵ R y a + c = b + c, entonces a=b ii) Si a, b, c ϵ R , c ≠ 0 y ac = bc, entonces a=b Demostración: i) Sea c1 ϵ R tal que c + c1 = 0 (Esto por el axioma 6) Entonces a + c = b + c ⇒ (a + c) + c1 = (b + c) + c1 (Propiedad de la igualdad) ⇒ a + (c + c1) = b + (c + c1) (Por axioma 3) ⇒ a + 0 = b + 0 (Por axioma 6) ⇒ a = b (Por axioma 5)

ii) Si a, b, c ϵ , c≠0 ac = bc, entonces a=b si c≠0, el axioma seis garantiza la existencia de un número real c2 tal que cc2 = 1. Por lo tanto: ac = bc ⇒ (ac)c2 = (bc)c2 (Propiedad de la igualdad) ⇒ a(cc2) = (bc)c2) (Por axioma 3) ⇒ a · 1 = b · 1 (Por axioma 6) ⇒ a = b (Por axioma 5)

Jerarquía de los operadores Para desarrollar cualquier operación aritmética es necesario utilizar la jerarquía de los operadores aritmeticos. Dentro de una misma expresión los operadores se evalúan en el siguiente orden. Exponenciación Multiplicación, División (Con decimales) División Entera. Suma y resta

Jerarquía de los operadores Cuando se encuentran operadores del mismo nivel, estos se desarrollan de izquierda a derecha. Cuando se encuentran varios paréntesis, se empiezan a desarrollar por el más interno. Un paréntesis, sólo desaparece, cuando queda un solo término en medio de ellos

EJEMPLO Tomaremos como ejemplo la expresión [2 * 5 + 3]. Algunos tendrían la duda de cual operación resolver en primera instancia ¿La multiplicación o la suma?; otros sumarían y luego multiplicaría diciendo que la respuesta es 16

RESPUESTA CORRECTA Para no cometer errores al momento de resolver una operación matemática, tenga en cuenta la jerarquía de los operadores. En nuestro ejemplo: primero se debe realizar la multiplicación y luego la suma, por lo tanto la respuesta correcta será: 2 * 5 + 3 10 + 3 13 Resultado Correcto

EJEMPLO 40 / 5 + 8² * 3 ----------> 1° es la exponenciación 40 / 5 + 64 * 3 ---------> Primero se resuelve la división (de izquierda a derecha) 8 + 64 * 3 --------------> Luego división (mismo nivel jerárquico de multiplicación) 8 + 192-----------------> Por último se realiza la suma 200

EJERCICIO Resolver. 51 / 2 + 3 Desarrollo: 51 / 2 + 3 ---> La división ( / ) indica que se manejan decimales. 51 / 2= 25.5 25.5 + 3 -----> Luego se realiza la suma de los dos valores 28.5

EJERCICIO Resolver : 7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9 Desarrollo: 1 2 70 – 5 * 4 + 9 3 70 –20 + 9 4 50 + 9 5 59

EJERCICIO Resolver : 9 + 7 * 8 – 36 / 5 Desarrollo: 9 + 7 * 8 – 36 / 5 1 9 + 56 – 36 / 5 2 9 + 56 – 7.2 3 65 – 7.2 4 57.8

Resolver: 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (125 / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (12.5 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + 15 9 + 2 * 12 / 4 + 15 9 + 24 / 4 + 15 9 + 6 + 15 15 + 15 30

Resolver: 360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500 360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500 180 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500 18 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500 6 – 5 * 8 + 38 + 500 6 – 40 + 38 + 500 -34 + 38 + 500 4 + 500 504