Trayectorias Ortogonales Ecuaciones diferenciales Nicolás merchan John bareño Julián Beltrán
Definición Teniendo una familia de curvas, se llama conjunto de trayectorias ortogonales, a otra familia de curvas en la cual cada uno de sus miembros corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos (el ángulo se define como el formado entre las tangentes a las curvas en el punto de intersección). En la imagen, familia de curvas y sus trayectorias ortogonales.
Ejemplos
Determinación de trayectorias ortogonales Primer paso: Dada una familia de curvas, se encuentra su ecuación diferencial de la forma: y’= f(x,y) Segundo paso: Se encuentran las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuación diferencial: y’= - 1 𝑓(𝑥,𝑦)
Demostración del método Se sabe que una curva dada que pasa por el punto P: (x,y) tiene en P la pendiente f(x,y). La pendiente de la trayectoria ortogonal que pasa por P deberá ser, en ese punto, recíproco negativo de f(x,y), es decir - 1 𝑓(𝑥,𝑦) , pues esta es la condición para que dos curvas en P sean perpendiculares.
Aplicaciones de trayectorias Ortogonales Mapas meteorológicos. Mapas de campos eléctricos. Mapas de campos magnéticos.
EJEMPLOS 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 =− 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 1. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia dada: 𝑦 2 =2𝑐𝑥 Derivando implícitamente se tiene: 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑐 Despejando c de la ecuación original se tiene que: 𝑐= 𝑦 2 2𝑥
Reemplazando c: 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2 2𝑥 Aplicando la formula tenemos que: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 =− 1 𝑦 2 2𝑥 Haciendo producto de extremos y medios llegamos a: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 2𝑥 𝑦 Por separación de variables y aplicando integral se tiene: 𝑦 𝑑𝑦=− 2𝑥 𝑑𝑥 La familia de trayectorias ortogonales es: 𝑦 2 2 + 𝑥 2 =𝑐
𝑦 2 + 𝑥 2 2 =𝑐 2. 𝑦=𝑐 𝑥 2 Derivando: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑐𝑥 Despejando c: 𝑐= 𝑦 𝑥 2 𝑐= 𝑦 𝑥 2 Reemplazando: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 𝑥 Aplicando la formula: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝑥 2𝑦 Separando Variables: 2𝑦 𝑑𝑦 =− 𝑥 𝑑𝑥 La familia Solución es: 𝑦 2 + 𝑥 2 2 =𝑐