Un modelo de computación no convencional: La Computación Cuántica Juan Antonio Nepomuceno Chamorro

¿simulación de procesos cuánticos? Un poco de historia: Richard P. Feynman ¿simulación de procesos cuánticos? D. Deutsch Bernstein, Vazirani Yao ordenador siguiendo leyes cuánticas algoritmo de factorización (gran interés e inversión en la Computación Cuántica debido a las importantes consecuencias a nivel criptográfico) Mikhael Shor

La teoría cuántica: el concepto de superposición A nivel atómico observamos comportamientos que no coinciden con lo que la intuición nos dice que debería ocurrir La teoría cuántica explica estos comportamientos Proceso computacional cuántico: computamos teniendo en cuenta “todas las posibles historias a la vez”

El carácter ondulatorio: Experimento de Young La luz es un tipo de onda La interferencia entre ondas provoca el patrón de rayado de la pantalla

El concepto de superposición: Repetimos el experimento con un cañón de electrones (los lanza a velocidad constante) Con una abertura Con dos aberturas

El concepto de superposición: Repetimos el experimento con un cañón de electrones (los lanza a velocidad constante) Con una abertura ¿? Con dos aberturas No coincide con lo que la intuición nos dice. ¿Electrones individuales comportándose como ondas?

El concepto de superposición: ¿Cómo explicamos el fenómeno? Parece como si el electrón supiese diferenciar cuando ambas aberturas están abiertas y cuando no. Se comporta como una onda, ¿interaccionan los electrones unos con otros? NO: pues llegan por separado a la primera pantalla. Además, si intentamos medir por qué abertura pasa el electrón colocando un aparato de medida, el resultado del experimento (con ambas abiertas) no es el mismo: se pierde el efecto “ondulatorio”.

El concepto de superposición: Explicación de la Teoría Cuántica: No podemos determinar qué hace el electrón, y si lo intentamos, modificamos su comportamiento: su posición es una indeterminación. Aceptamos como mejor explicación: El electrón “se divide” en dos Interacciona consigo mismo mundo real explicación teoría cuántica Superposición: se considera que ocurren las dos posibilidades. (Si tratamos de medir se destruye y sólo contemplamos una en particular).

|0i+|1i ( 2 H, espacio de Hilbert) Bit cuántico o qubit : Superposición: debido a la incertidumbre de los procesos cuánticos consideramos que ocurren todas las posibilidades Observación: una vez que interactuamos la superposición se pierde y sólo tenemos una de las posibilidades contempladas. bit clásico: 0 o 1 Qubit: al estar en un proceso cuántico, consideramos ambas posibilidades |0i+|1i ( 2 H, espacio de Hilbert) con ,  2 C amplitudes y tal que: ||2+||2=1 … y al observarlo obtendremos 0 con probabilidad ||2 o 1 con probabilidad ||2 indeterminación carácter ondulatorio distribución de probabilidad

Preparar una superposición adecuada: Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en: superposición Preparar una superposición adecuada: |i=1|1i+2|2i+…+n|ni con i 2 C, |i |2=1

|i se transforma en |i mediante una matriz (unitaria) Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en: superposición evoluciones unitarias |i=1|1i+2|2i+…+n|ni Someter dicha superposición a una serie de evoluciones unitarias: |i se transforma en |i mediante una matriz (unitaria) “evolución unitaria”

Observamos (medimos) la superposición resultante: Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en: superposición evoluciones unitarias Medición e interpretar resultados |i=1|1i+2|2i+…+n|ni Observamos (medimos) la superposición resultante: obtendremos un elemento en concreto con una determinada probabilidad t = 0 A nivel subatómico se cumplen a la vez, simultáneamente, todas las historias, calculemos a nivel subatómico: “paralelismo cuántico”

Modelo Cuántico vs. Probabilista: 100% Modelo Cuántico vs. Probabilista: Lente que refracta al 50 % ¿En qué se diferencia el modelo cuántico del probabilista? Espejo reflectante ¿? Modelo Probabilista: 1 La probabilidad de que se siga este camino de computación es de la probabilidad de obtener 0 en el proceso completo es de:

Modelo Cuántico vs. Probabilista: ¿En qué se diferencia el modelo cuántico del probabilista? Modelo Cuántico: |0 |1 la amplitud es: la amplitud es: (y la probabilidad es (– ½)2 = 1/4) la probabilidad de obtener 0 en el proceso completo es de: (sumamos las amplitudes y consideramos su cuadrado)

Modelo Cuántico vs. Probabilista: Las diferencias: “Filosofía de la superposición” Interferencia Transformaciones unitarias Reversibilidad Interferencia: carácter ondulatorio i.e., cancelación de dos posibles computaciones árbol de computaciones : Modelo Probabilista Modelo Cuántico

Modelo Cuántico vs. Probabilista: Las diferencias: “Filosofía de la superposición” Interferencia Transformaciones unitarias Reversibilidad Se puede seguir paso a paso la computación un sólo camino de la computación probabilidad probabilidad al medir   | c i |2   Si tratamos de observar un paso intermedio destruimos el proceso Modelo Probabilista Modelo Cuántico

Ejemplo1 : codificación Codificamos los números de 0 a 15 : Con bits: 0000= 0•23+0•22+0•21+0•20= 0 … o por ejemplo … 1001= 1•23+0•22+0•21+1•20= 9 Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 posibilidades Con qubits: = = •23 + •22 + •21 + •20 Codificamos de una sola vez todas las 16 posibilidades y podemos hacer cálculos con todas a la vez Pero, ¿si efectuamos una medición?

Ejemplo1 : codificación Codificamos los números de 0 a 15 : Con bits: 0000= 0•23+0•22+0•21+0•20= 0 … o por ejemplo … 1001= 1•23+0•22+0•21+1•20= 9 Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 posibilidades Con qubits: = = •23 + •22 + •21 + •20 = = 9 Al observar la superposición esta colapsa a un estado en concreto: sólo tenemos en ese momento un valor concreto. Mientras no realicemos ninguna medición estamos trabajando con los 16 valores simultáneamente.

Ejemplo2 : resolviendo un problema de búsqueda Sea una función ,f, que toma valores en {x0 , …, xn } y vale 0 en todos los puntos y 1 en tan sólo uno. Se trata hallar ese valor en concreto. ¿encontrar y2 {x0 , …, xn } tq f(y)=1? Codificamos la información de una manera adecuada: mediante un operador habitual en transformaciones cuánticas: |0i → (1 / √2n)  |xii (operador H-W) Podemos representar así las amplitudes de la superposición inicial Aplicamos un operador adecuado para obtener el resultado: 1) que discrimine en cierta forma la solución del resto 2) que haga que en el proceso de medición la solución sea la que tenga más probabilidades de salir Gn = -Hn Rn Hn Vf Observamos y sacamos conclusiones

Ejemplo2 : resolviendo un problema de búsqueda ¿encontrar y2 {x0 , …, xn } tq f(y)=1? |0i codificamos la información Gn operador cuántico: 1) DISCRIMINA 2) RESALTA (un solo paso de computación) y = x i (y lo obtenemos con una probabilidad de |ci|2) Observamos y obtenemos con más probabilidad la solución que el resto (probabilidad controlada)

Básicamente hay de dos tipos: Algoritmos Cuánticos: (son un tipo particular de algoritmos probabilistas) Básicamente hay de dos tipos: De búsquedas en base de datos sin estructura o “consulta a oráculos” Algoritmo de Grover, … Tipo Shor: que sacan partido de comportamientos de tipo periódico por medio de la Transformada Cuántica de Fourier Algoritmo de factorización de Shor, … (Simulaciones Cuánticas) …

Nuevas preguntas, nuevos problemas, nuevos paradigmas … ¿y la implementación? Se estima que podremos llegar a tener un ordenador cuántico en los próximos 20 o 30 años: en 2001 IBM consigue factorizar n=15 utilizando el algoritmo de Shor con un ordenador de 7 qubits Nace la Criptografía Cuántica Nuevas preguntas, nuevos problemas, nuevos paradigmas …

Hacia un Software Cuántico Nuevos paradigmas … etc … Circuitos Cuánticos… para qué servirán los ordenadores cuánticos o aspectos de teoría de la complejidad Hacia un Software Cuántico Nuevos paradigmas … etc …