TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS CAPITULO II : TRACCIÓN - COMPRESION. y CORTADURA Iniciación a la Resistencia de los Materiales Texto de referencia: TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS de J.A.G. Taboada PARTE 1 : Resistencia Objeto: COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE MATERIALES. Lección 5 : 2011

Lección 5 : 5.1 .- Cortadura: Tensión Cortante pura. 5.2 .- Deformaciones producidas por Cortadura. Módulo de elasticidad trasversal. 5.3 .- Energía de deformación en Cortadura.

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales tzy = tyz tzx = txz txy = tyx

Circulo de Mohr de cortadura pura t = s txy = tyx tyx txy s1 s3

Deformaciones en cortadura

Deformaciones en cortadura ex = sx E - m ( sy sz ) a.DT so + g 2 ex = sx E + m ( sy ) a t = s a ex = E + m ( ) t ex = tag ( 2 ) g 2 g = a (1+e) a(1-e) 1 + m E g 2 = t g = t / G tag ( 2 ) g a (1+e) a(1-e) = 4 p + G = E 2 (1 + m) 1-tag(g/2) = 1+tag(g/2) tag ( 2 ) g 4 p +

Deformaciones en cortadura g = t G g Módulo de elasticidad transversal, Módulo de esfuerzo cortante, Módulo de rigidez a cortadura G = E 2 (1 + m)

Deformación a Cortadura pura g 2 = t g g t G = Donde G E = 2(1 + m ) Módulo de Elasticidad Trasversal acero = 800.000 Kg/cm2

Energía de deformación en cortadura W = 1 2 F · d u = t2 2G = g2 · G 2 Energía de deformación en tracción u = s2 2E = e2 · E 2

Apéndice Matricial de Deformaciones

Tipos de deformaciones Deformación de tracción directa Deformación de tracción indirecta o trasversal Deformación de cortadura o angular Deformación de torsión o de giro radial Deformación de flexión Deformación de Pandeo

Tracción - Compresión d = e.L = s .L/E = FL/AE m = - ey ex = - ez Deformación Trasversal: Coeficiente de Poisson : m m = - ey ex = - ez

Ley de Hooke generalizada ex = sx E - m ( sy sz ) a.DT sox + ey = sy E - m ( sx sz ) a.DT soy + ez = sz E - m ( sy sx ) a.DT soz + = Vf -Vi Vi e Lx (1+ ex ).Ly (1+ ey ).Lz (1+ ez ) -Lx Ly Lz Lx Ly Lz = ex + ey + ez 1 e Invariante lineal de Deformaciones = sx + sy + sz 1 q Invariante lineal de Tensiones

Matriz de tensiones T = snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s = T * u sx sy sz a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz txz s cosenos directores

Matriz de deformaciones ex 1/2 gyx 1/2 gzx 1/2 gxy ey 1/2 gyz 1/2 gzx 1/2 gzy ez = D ex 0 0 0 ey 0 0 0 ez = D Matriz de deformaciones referida a los ejes principales

Ecuaciones de Lamé Q = sx + sy + sz e = E e = ex + ey + ez Q (1 - 2m ) = E e = ex + ey + ez Cálculo de las Tensiones conociendo las deformaciones snx m . E . e = (1 + m ) (1 - 2 m ) E ex (1 + m ) + Módulo volumétrico de un cuerpo sumergido K = E 3·(1 - 2 m ) sny m . E . e = (1 + m ) (1 - 2 m ) E ey (1 + m ) + snz m . E . e = (1 + m ) (1 - 2 m ) E ez (1 + m ) + - p ey = K ez = ex =

Ejemplo de Cortadura F Sección b x h Sección 1: b x h1 Sección 3: b x a2 Sección 3: aplastamiento scadm = (F/S3) h2 Sección 2: b x h2 Sección 2: trabaja a cortadura tadm = (F/S2) Sección 1: trabaja a tracción stadm = (F/S1) h1

tadm = (F/n·Sp) Ejemplo de remache stadm = (F/S1) scadm = (F/S3)

Ejemplo soldadura

ARTICULO 31º Coeficientes de seguridad   31.1. Estados límites últimos 31.2. Estados límites de utilización En los métodos de cálculo desarrollados en esta Instrucción y de acuerdo con lo expuesto en el Artículo 30º, la seguridad se introduce a través de los tres coeficientes: dos de minoración de las resistencias del hormigón y del acero y otro de ponderación de las cargas y acciones en general. 31.1. Estados límites últimos  Los valores básicos de los coeficientes de seguridad para el estudio de los estados límites últimos, son los siguientes: Coeficiente de minoración del acero..................... g s = 1,15 Coeficiente de minoración del hormigón................ g c= 1,50 Coeficiente de ponderación de las acciones: De efecto desfavorable.................... g fg = g fq = 1,60 De efecto favorable: Permanente...................... g fg = 0, 90 Variable........................... g fq=  

Estados límites últimos Coeficientes de minoración de los materiales   CUADRO 31.1 Estados límites últimos Coeficientes de minoración de los materiales  Material Coeficiente Básico Nivel de control Corrección   Acero g s = 1,15 Reducido +0,05 Normal Intenso -0,05 Hormigón g c = 1,5 Reducido (1) +0,20 Intenso (2) -0,10 Restantes casos . Se tendrá en cuenta en el caso de soportes u otras piezas hormigonadas en vertical, que la resistencia de proyecto debe además minorarse en el 10 por 100. (1) Este nivel de control sólo puede utilizarse para obras de ingenieria de pequeña importancia, para edificios de viviendas de una o dos plantas, o en aquellos edificios de viviendas de hasta cuatro plantas en los que el hormigón sólo se destine a elementos trabajando a flexión con luces moderadas. Con este nivel de control, no se adoptará en el cálculo una resistencia de proyecto mayor de 175 kp/cm (2) Hormigón para elementos prefabricados en instalación industrial permanente con control intenso. Los valores de los coeficientes de minoración para el acero y para el hormigón y de ponderación para las acciones según el nivel de control adoptado y daños previsibles se establecen en los cuadros 31.1 y 31.2. Los valores de los coeficientes de seguridad gs ,gc y gf adoptados y los niveles supuestos de control de calidad de los materiales y de la ejecución, deben figurar explícitamente en los planos. 

Estados límites últimos Coeficientes de ponderación de las acciones   CUADRO 31.2  Estados límites últimos Coeficientes de ponderación de las acciones Coeficiente   Corrección gf = 1,6 Nivel de control en la ejecución Reducido +0,20 Normal Intenso -0,10 Daños previsibles en caso de accidente Mínimos y exclusivamente materiales Medios Muy importante Comentarios  Los valores de los incrementos de los coeficientes de seguridad han sido fijados con el criterio de que al reducirse los niveles de control de los materiales y la ejecución, se incrementan correlativamente los de los coeficientes gs ,gc y gf, de forma que la seguridad final se mantenga aproximadamente constante. Los criterios establecidos en el articulado para los estados límites últimos se resumen en el cuadro 31.3. La necesidad de que figuren en los planos los valores de los coeficientes de seguridad y los niveles de control decididos por el proyectista es evidente. Lo contrario conduciría a que una estructura, proyectada para un cierto nivel de seguridad fijado por el proyectista tendría en la práctica diferentes niveles de seguridad según los diferentes niveles de control que pudieran adaptarse durante la construcción.  Cuando la importancia de la obra lo justifique podrán corregirse los valores consignados de los coeficientes de seguridad, previos los estudios oportunos, de acuerdo con el criterio de que la probabilidad de hundimiento resultante para la obra proporcione un coste generalizado mínimo de la misma, entendiéndose por coste generalizado el que se obtiene sumando: -el coste inicial de la obra; -el coste de su mantenimiento y conservación durante su vida de servicio; -el producto de la probabilidad de hundimiento por la suma del coste de reconstrucción más la cuantía de los daños y perjuicios que pudiera causar aquél. Se tendrá en cuenta que en el caso de daños previsibles muy importantes no es admisible un control de ejecución a nivel reducido. Se podrá reducir el valor final de gf en un 5 por 100 cuando los estudios, cálculos e hipótesis sean muy rigurosos, considerando todas las solicitaciones y todas sus combinaciones posibles y estudiando con el mayor detalle los anclajes, nudos, enlaces, apoyos, etc. Deberán comprobarse con especial cuidado y rigor las condiciones de fisuración, cuando el producto gs.gf, resulte inferior a 1,65.

Coeficientes de seguridad para los estados límites últimos CUADRO 31.3 Coeficientes de seguridad para los estados límites últimos Coeficiente de seguridad sobre Nivel de control Valor del coeficiente de seguridad   Acero g s Reducido 1,20 Normal 1,15 Intenso 1,10 Hormigón gc Reducido (1) 1,70 Intenso (2) 1,40 Restantes casos 1,50 Acciones (3) gf Daños previsibles (4) Acción desfavorable Acción favorable de carácter Permanente Variable A 0,9 B 1,80 C -- 1,60 (1) Este nivel de control sólo puede utilizarse para obras de ingeniería de pequeña importancia, para edificios de viviendas de una o dos plantas, o en aquellos edificios de viviendas de hasta cuatro plantas en los que el hormigón sólo se destine a elementos trabajando a flexión con luces moderadas. Con este nivel de control, no se adoptará en el cálculo una resistencia de proyecto mayor de 175 kp/cm2. (2) Este nivel de control es adecuado para obras singulares, así como para elementos prefabricados en instalación industrial permanente. En todos estos casos, conviene considerar también como alternativa la modalidad de control total (apartado 69.2). Se podrá reducir el valor gf en un 5 por 100 cuando la hipótesis y el cálculo sean muy rigurosos, se consideren todas las combinaciones de acciones posibles y se estudien con el mayor detalle los anclajes, nudos, apoyos, enlaces, etc. Daños previsibles: Obras cuyo fallo sólo puede ocasionar daños mínimos y exclusivamente materiales, tales como silos, acequias, obras provisionales, etc. Obras cuyo fallo puede ocasionar daños de tipo medio como puentes, edificios de vivienda, etc. Obras cuyo fallo puede ocasionar daños muy importantes, como teatros, tribunas, grandes edificios comerciales, etc.  

31.2. Estados límites de utilización  Para el estudio de los estados límites de utilización se adoptarán los siguientes coeficientes de seguridad:  Coeficiente de minoración del hormigón............. gc = 1 Coeficiente de minoración del acero...... g s = 1 Coeficiente de ponderación de las acciones: Acciones de carácter variable con efecto favorable cuando puedan actuar o dejar de hacerlo.......... gf = 0 En los demás casos........... gf = 1 Comentarios  Para los estados límites de utilización, el comportamiento de la estructura no está influido, en general, por las variaciones locales de las propiedades del hormigón o del acero, sino más bien por sus características medias. En consecuencia, es suficiente en la práctica adoptar gs = gc = 1. Por otra parte, el coeficiente gf, se toma igual a la unidad, ya que el comportamiento de la estructura, en este caso, se estudia para las cargas de servicio de la misma. Sin embargo, si el proyectista juzga oportuno alcanzar un nivel de seguridad mayor frente a algún estado límite de utilización -por ejemplo, frente a la posibilidad de deformación excesiva de un elemento estructura¡ bajo la acción de una determinada carga- se pueden incrementar los valores de los coeficientes.