TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS (CINEMÁTICA) Unidad 12

Contenidos (1) 1.- Definición de Cinemática. 2.-   Clasificación de los movimientos: 3.-   Movimiento rectilíneo uniforme. 4.-   Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Caída libre. 5.-   Composición de movimientos: 5.1. Dos movimientos MRU perpendiculares. 5.2. Tiro horizontal. 5.3. Tiro oblicuo.

Contenidos (2) 6.- Movimiento circular uniforme. 7.-  Movimiento circular uniformemente acelerado.

Definición de Cinemática Es la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse de las causas que lo producen, es decir, de las fuerzas. Las únicas magnitudes que se usan son, pues, la posición y el tiempo y las derivadas de ambas, es decir, la velocidad y la aceleración. Para medir el espacio definiremos un sistema de referencia y el vector posición r (r).

Tipos de movimientos Según sean “”at “y “an” los movimientos se clasifican en: Variación en “at” at = 0; v = 0, es decir, la rapidez es constante  Mov. Uniforme. at = k; es decir, la rapidez varía proporcionalmente al tiempo  Mov. Uniformemente acelerado. at  k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al tiempo  Mov. Variado.

Tipos de movimientos (cont.) Variación en “an” an = 0 (porque R= ); no hay variación en la trayectoria  Mov. Rectilíneo. an  0 y R = k; la trayectoria es circular  Mov. Circular. an  0 y R  k ; la trayectoria cambia continuamente de radio  Mov. Curvilíneo.

Movimiento Rectilíneo Uniforme M.R.U. Se cumple que a = 0 at = 0 an = 0

Ecuación del movimiento. Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no depende del tiempo (no cambia ni el módulo ni la dirección), ya que sólo la derivada de una constante da 0. dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k Ejemplo: Sea v = 3 i m/s  a = 0 Para obtener la posición se vuelve a integrar: r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0 Ecuación (r0 = constante) vectorial Ejemplo: Sea r = ∫ (3 i) m/s · dt = = (3 t + k) · i m

r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s? r = ∫dr = ∫ v · dt = v · t + r0 = = [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m = (8 i + 8 j– 11 k) m r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m

Ecuación escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con lo que: v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda: vx = k ; x = x0 + vx· t que se les denomina ecuaciones escalares.

Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones. Si no está situado en el eje “x” v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son tres constantes. Entonces r = x · i + y · j + z · k = = (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k Y las ecuaciones escalares quedarían: vx = k1 ; x = x0 + vx· t vy = k2 ; y = y0 + vy· t vz = k3 ; z = z0 + vz· t

Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r0 = (2 i + k) m. Ecuaciones escalares de velocidad de posición vx = 3 m/s ; x = (2 + 3 t) m vy = 4 m/s ; y = 4 t m Vz = –6 m/s ; z = (1 – 6 t) m

Representación gráfica x/t. Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0. x(m) t(s)  t x x0 x = v · t + x0

Representación gráfica v/t Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”. v(m/s) t(s) vx = k

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado M.R.U.A Se cumple que a = k · ut at = k = a an = 0 Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

Ecuaciones del movimiento. MRUA a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el tiempo siempre al mismo ritmo. dv = a dt. Integrando: v = ∫dv = ∫a · dt = a · t + v0 (v0 = constante) v = a · t + v0 Para obtener la posición se vuelve a integrar: r = ∫dr = ∫v · dt = ∫(a · t + v0) · dt r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante) Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará como: r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i

Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posición. v =∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i

Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s? a = dv/dt = 4 j m/s2 r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫(4· t + 2 ) j dt = = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m r = (2 t2 + 2 t + 3) j m r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m = = (8 + 4 + 3) j m r (t = 2 s) = 15 j m

Ecuaciones escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que: v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones escalares: vx = ax · t + v0x ; x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2 Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán: vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2

Ecuación vx = f(x). Despejando “t en la ecuación vx = ax · t + v0x : vx –vox t = ———— ax y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2 vx –vox 1 (vx –vox)2 x = x0 + v0x · ——— + — ax · ———— ax 2 ax2 2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox Despejando vx: vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)

Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones del movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones escalares. vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2 Comparando con la ecuación general observamos que las constantes del movimiento son: ay = 4 m/s2 ; v0y = 2 m/s; y0 = 3 m Y las ecuaciones escalares: ay = 4 m/s2 vy = (4 t + 2) m/s y = (3 + 2 · t + 2 t2) m

Representación gráfica a/t aX (m/s2) Al representar “a” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “a” es constante y no varía con “t”. ax = k t(s)

Representación gráfica v/t t(s) v0x vx = v0x + ax · t Vx (m/s)  t vx Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “ax” (ax = tg ) y la ordenada en el origen es v0x.

Representación gráfica x/t t(s) x(m)  t x Vx= 0 x0 Al representar “x” frente a “t” se obtiene una parábola cuya pendiente “v” varía con el tiempo y que vale 0 cuando el movimiento cambia de sentido (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m . ay (m/s2) t(s) 5 t(s) Vy (m/s)  3 s 12 m/s 10 2 4 t(s) vy (m/s) 1 2 3 4 2 6 10 14 18 tg  = (12m/s)/3 s = 4 m/s2 (Continúa en la diapositiva siguiente)

Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m . t(s) y (m) 20 2 4 30 10 40 t(s) y (m) 1 2 3 4 3 7 15 27 43 (Viene de la diapositiva anterior)

Composición de movimientos Se basan en dos principios: P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de considerarlos simultáneos o sucesivos. P. de superposición: La posición, velocidad y aceleración vienen dados por la sumas vectorial de los movimientos parciales. Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se pueden considerar independientes. El tiempo es la única magnitud común para ambos.

Composición de dos movimientos uniformes perpendiculares. La ecuación de velocidad será: v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes. La ecuación de la posición será: r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j En la práctica se tienen dos ecuaciones independientes con el “tiempo” común: vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra se obtiene la ecuación de la trayectoria: vy y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta vx

Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo? Vrío = –3 m/s i Vbarca = (5 ·cos  i + 5 ·sen  j) m/s 50 m  Ecuaciones escalares de velocidad: Vx= 5 m/s · cos  – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen  (Continúa en la diapositiva siguiente)

Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo? Ecuaciones escalares de posición: x = (5 m/s · cos  – 3 m/s) · t Para cruzar justo enfrente x = 0 0 = 5 m/s · cos  – 3 m/s  cos  = 3/5   =arc cos 3/5 = 53’13 º y = 5 m/s · sen  · t = 5 m/s · 0,8 · t Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t  t = 12,5 s (Viene de la diapositiva anterior)

Tiro parabólico Ecuaciones del movimiento: Es una composición de dos movimientos: un MRU en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída libre) en el eje vertical (de las “y”). Ecuaciones del movimiento: a = – g · j ; v = v0x · i + (v0y – g · t) · j r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j v0x = v0 · cos  ; v0y = v0 · sen  Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que: v = v0 · cos  · i + (v0 · sen  – g · t) · j r = v0·cos  · t · i + (h + v0·sen  · t – ½ g · t2)· j

Tiro parabólico (continuación). Ecuaciones escalares (paramétricas): vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t x = v0 · cos  · t; y = h + v0 · sen  · t – ½ g · t2 Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición): x x g x2 t = ———–  y = h + v0 sen  ———— – ————— v0 cos  v0 cos  2 (v0 cos )2 g y = h + tg  · x – —————— · x2 (parábola) 2 (v0 cos )2

Tiro horizontal (se cumple que:  = 0  vx = v0 ; v 0y = 0  vy = – g · t) Se suele llamar “h” a la altura inicial (y0) Ecuaciones escalares (paramétricas): vx = v0 ; vy = – g · t x = v0 · t ; y = h – ½ g · t2 Ecuación de la trayectoria: g y = h – –—— · x2 2 v02 Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): –—— 0 = h – ½ g · t2  t =  2 h/g

Tiro horizontal (continuación). Alcance (“x” para y = 0): –—— x = v0 ·  2 h/g Velocidad de impacto con el suelo: ——– ——– vx = v0 ; vy = – g ·  2 h/g = –  2 g h –——–— v =  vx2 + vy2 ; –——–——— v =  v02 + 2 g h

Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas. a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½] despejamos “v0”: x 30 m v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s (2 h/g)½ (2 ·25 m/9,8 m/s2)½ b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos “t”: x 30 m t = —— = ————— = 2,26 s v0 13,28 m/s

Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0). Ecuaciones escalares (paramétricas): vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t x = v0 · cos  · t; y = v0 · sen  · t – ½ g · t2 Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición): x x g x2 t = ———–  y = v0 sen  ———— – —————– v0 cos  v0 cos  2 (v0 cos )2 g y = tg  · x – —————— x2 2 (v0 cos )2

Tiro oblicuo Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): 0 = v0 · sen  · t – ½ g · t2 Sacando factor común “t”: 0 = (v0 · sen  – ½ g · t) · t Cuyas soluciones son: t = 0 2 v0 · sen  t = ——————— g

Tiro oblicuo. Alcance (x para y = 0): Sacando factor común “x” de la ecuación de la trayectoria e igualando a 0: 0 = [tg  – ½ g / (v0 cos )2 · x] · x Cuyas soluciones son: x = 0 x = 2 v02 · cos2  · tg  /g = 2 v02 sen  · cos  /g v02 · sen 2 x = —————— g A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor máximo se obtendrá cuando  = 45º

Tiro oblicuo. Velocidad de impacto con el suelo vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t Sustituyendo “t” por ”2 v0 · sen  / g” en vy que es la que varía se tendrá: vy = v0 · sen  – g · ( 2 v0 sen  / g) vy = – v0 · sen  ; vx = v0 · cos  ———— ————————————— v =  vx2 + vy2 = (v0 · cos )2 + (– v0 · sen  )2 ————————— —— v =  v02(cos2  + sen2 ) =  v02 = v0 Es decir, siempre que se lance desde el suelo, la velocidad de caída es igual a la de lanzamiento.

Tiro oblicuo. Altura máxima (y para vy = 0). 0 = v0 · sen  – g · t De donde t = v0 · sen / g (observa que es justo la mitad que el tiempo de impacto con el suelo) Sustituyendo “t” por “v0 · sen / g” en la ecuación de posición “y” y = v0·sen  ·(v0·sen /g) – ½ g·(v0·sen / g)2= = v02· sen2 / g – ½ (v02· sen2 / g) v02 · sen2  y = 2 g

Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso. a) v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 60º x(= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m g 9,8 m/s2 v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 90º x(= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m g 9,8 m/s2 v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 120º x(= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m g 9,8 m/s2 b) 2 v0 · sen  2 · 15 m/s · sen 30º t (= 30º) = ————— = ————————— = 1,53 s g 9,8 m/s2 Análogamente t (= 45º) = 2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s

Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso. c) v02 · sen2  (15 m/s)2 · sen 2 30º y (= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m 2 g 2 · 9,8 m/s2 v02 · sen2  (15 m/s)2 · sen 2 45º y (= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m 2 g 2 · 9,8 m/s2 v02 · sen2  (15 m/s)2 · sen 2 60º y (= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m 2 g 2 · 9,8 m/s2 (Viene de la diapositiva anterior)

MOVIMIENTOS CIRCULARES

Movimientos circulares El vector posición r va cambiando continuamente de dirección y sentido pero no así su módulo: r= R (radio) Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en segundos. Frecuencia (): Es el número de vueltas que da por unidad de tiempo. Se mide en herzios = s–1. T = 1/ 

Movimientos circulares (cont.). Ángulo (): Se mide en rad. Es un vector perpendicular al plano del ángulo y sentido el del avance del tornillo. Como 1 vuelta = 360º = 2 rad La distancia recorrida (e) escalar toma el valor: e =   · R =   · R Existen otras dos magnitudes vectoriales que son la velocidad angular () y la aceleración angular () con definiciones similares a sus correspondientes lineales.

Movimientos circulares (cont.). Velocidad angular ():  = d  / d t Tiene la misma dirección y sentido que  y se mide en rad/s. Aceleración angular ():  = d  / d t Tiene la misma dirección que  y su mismo sentido si ésta aumenta y sentido contrario si disminuye. Se mide en rad/s2.

Movimiento Circular Uniforme M.C.U. Se cumple que a  0 at = 0 (v = cte) an = k (como v = cte  R = cte)

Mov. Circular uniforme (MCU). Como at = at= v / t = 0  v= k La velocidad angular es constante:  =  · k  = = 2 rad / T (s) = 2 rad ·  Integrando:  = ∫ d  = ∫  · d t =  · t + 0 En la práctica utilizaremos la ecuación escalar que es similar:  =  · t + 0 La celeridad “v” depende lógicamente del radio: e   · R v = —— = ——— =  · R  t  t

Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s. a) 90 vueltas min 2  rad  = ————— · ——— · ———— = 3  rad/s min 60 s vuelta b) 3  rad v =  · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s s c) 3  rad  =  · t = ———— · 10 s = 30  rad = 15 vueltas s

Movimiento Circular Uniformemente acelerado M.C.U.A Se cumple que a  0 at = k an  k’

Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA). dv d v d (·R) d  at=at= —— = —— = ——— = —— ·R =  · R d t d t d t d t Integrando d  =  · d t se obtiene la ecuación de la velocidad angular en función del tiempo:  =  · t + 0 Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del ángulo en función del tiempo:  = ½  · t2 + 0 · t + 0

Relación entre ecuaciones lineales y angulares. MRU v = k (constante) Ecuación e = f(t): e = e0 + v · t MCU  = k (constante) Ecuación  = f(t):  = 0 +  · t e =  · R v =  · R

Relación entre ecuaciones lineales y angulares (cont.). MRUA a = k (constante) Ecuación v = f(t): v = v0 + a · t Ecuación e = f(t): e = e0 + v0 t + ½ a ·t2 MCUA  = k (constante) Ecuación  = f(t):  = 0 +  · t Ecuación  = f(t):  = 0 + 0 t + ½  ·t2 e =  · R v =  · R at =  · R

Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto. a)  5 rad/s – 0  = —— = —————— = 0,083 rad/s2 t 60 s b)  (t = 25 s) = 0 +  · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s v (t = 25 s) =  · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s (Continúa en la diapositiva siguiente)

Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto. c) at =  · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2 an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2 an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2 (an depende de “t”) d)  (t = 1 min) = 0·t + ½  · t2 = ½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas (Viene de la diapositiva anterior)

Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como los valores de sus módulos. v 5 m/s  (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s R 5 m  – 0 1 rad/s – 0  = ——— = ————— = 0,2 rad/s2 t 5 s  (t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s v (t = 2 s) =  · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s

v2 (2 m/s)2 an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2 R 5 m at (t = 2 s) =  ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2 a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2 v2 (5 m/s)2 an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2 R 5 m at (t = 8 s) =  ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2 a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2

Método práctico de integración de polinomios Ejemplo: vx = 5 t3 + 4 t2 – 3 t + 2 = dx/dt x = ∫dx = ∫vx dt = 5/4 t4 + 4/3 t3 – 3/2 t2 + 2 t + k En general, sea y = a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g de forma que y = dz/dx. Se puede obtener “z” separando las dos diferenciales e integrando: z = ∫dz = ∫y dx z = ∫(a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g)·dx z =·a· xn+1/(n+1) + b· xn /n + ... + f·x2/2 + gx + k