Matemáticas 1º Bachillerato CT IDENTIDADES DÍA 16 * 1º BAD CT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C A ECUACIÓN FUNDAMENTAL Se observa en el triángulo OAB, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: AB=sen α OB=cos α Por Pitágoras: AB2+OB2=OA2 sen2 α + cos2 α = r2 sen2 α + cos2 α = 1 Cualquiera que sea el valor del ángulo. r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C OTRA ECUACIÓN Se observa en el triángulo OCD, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: CD=tg α OC=sec α OD=r=1 Por Pitágoras: OD2+CD2=OC2 12+tg2 α = sec2 α 1 + tg2 α = sec2 α Cualquiera que sea el valor del ángulo. A r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C OTRA ECUACIÓN Se observa en el triángulo OEF, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: EF=cotg α OF=cosec α OE=r=1 Por Pitágoras: OE2+EF2=OF2 12+cotg2 α = cosec2 α 1 + cotg2 α = cosec2 α Cualquiera que sea el valor del ángulo. A r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C A ECUACIÓN TANGENTE Se observa en el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD por tener los tres ángulos iguales. OB AB cos α sen α ---- = ----  -------- = ---------- OD CD 1 tg α Operando: tg α . cos α = sen α sen α tg α = --------- cos α r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Sabiendo que el seno de un ángulo del 2º Cuadrante vale 0’6, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. Como sen2 α + cos2 α = 1  (0’6)2 + cos2 α = 1 0,36 + cos2 α = 1  cos2 α = 0,64  cos α = ±√0,64 = = ±0’8 cos α = – 0’8 por estar en el 2º Cuadrante. tg α = sen α / cos α = 0,6 / (-0,8) = - 0,75 sec α = 1 / cos α = 1 /(-0’8) = - 1,25 cosec α = 1 / sen α = 1 /0’6) = 5/3 cotg α = 1 / tg α = 1 /(-0,75) = - 4/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 Sabiendo que el coseno de un ángulo del 3º Cuadrante vale - 0’707, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. Como sen2 α + cos2 α = 1  sen2 α + (-0,707)2 = 1 sen2 α + 0,5 = 1  sen2 α = 0,5  sen α = ±√0,5 = = ±0’707 sen α = – 0’707 por estar en el 3º Cuadrante. tg α = sen α / cos α = - 0,707 / (-0,707) = 1 Ejemplo 3 Sabiendo que la tangente de un ángulo del 4º Cuadrante vale - 2, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. Como 1 + tg2 α = sec2 α  1 + (-2)2 = sec2 α sec2 α = 5  sec α = ±√5 sec α = √5 por estar en el 4º Cuadrante. cos α = 1 / sec α = 1 / √5 = √5 / 5 Como sen2 α + cos2 α = 1  sen2 α + (√5 / 5)2 = 1 sen2 α + 1/5 = 1  sen2 α = 4/5  sen α = ±2/√5  sen α = – 2√5/5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Reducción al 1º Cuadrante Reducir un ángulo, β, al 1º Cuad. es expresar el valor de sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo, α, del 1º Cuad. Para ello se toma el afijo del ángulo β sobre la circunferencia y se construye un triángulo rectángulo. Los catetos serán los valores del seno y coseno de dicho ángulo β . Dicho triángulo será siempre semejante a otro situado en el 1º Cuadrante, por tener los ángulos iguales y la hipotenusa la misma. Al ser ambos triángulos semejantes, podemos identificar sus lados, obteniendo siempre una de esas dos propiedades: |sen β| = |sen α| y |cos β| = |cos α| ; o |sen β| = |cos α| y |cos β| = |sen α| Siendo β un ángulo cualquiera y α un ángulo del 1º Cuadrante. 90º β β α β 0º 180º β β β β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ANGULOS COMPLEMENTARIOS Se llaman ángulos complementarios los que suman 90º. En la figura: α + β = 90º En ellos sen α = cos β cos α = sen β O expresado de otra manera: sen (90º – α) = cos α cos (90º – α) = sen α EJEMPLOS sen 30º = sen (90º - 60º) = cos 60º cos 45º = cos (90º - 45º) = sen 45º sen 15º = sen (90º - 75º) = cos 75º cos 22,5º = cos (90º - 22,5º) = sen 67,5º 90º β α 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º ANGULOS QUE DIFIEREN EN 90º En general uno de ellos estará en el 2º Cuadrante y el otro en el 1º Cuadrante. En la figura: β – α = 90º En ellos sen α = - cos β cos α = sen β O expresado de otra manera: sen (90º + α) = cos α cos (90º + α) = - sen α EJEMPLOS sen 105º = sen (90º + 15º) = cos 15º cos 120º = cos (90º + 30º) = - sen 30º sen 135º = sen (90º + 45º) = cos 45º cos 112,5º = cos (90º + 22,5º) = - sen 22,5º β 90º α 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS ANGULOS SUPLEMENTARIOS Se llaman ángulos suplementarios los que suman 180º. En la figura: α + β = 180º En ellos sen α = sen β cos α = - cos β O expresado de otra manera: sen (180º – α) = sen α cos (180º – α) = - cos α EJEMPLOS sen 120º = sen (180º - 60º) = sen 60º cos 135º = cos (180º - 45º) = - cos 45º sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º cos 105º = cos (180º - 15º) = - cos 15º 90º α β 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º ANGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 3º Cuadrante. En la figura: β – α = 180º En ellos sen α = - sen β cos α = - cos β O expresado de otra manera: sen (180º + α) = - sen α cos (180º + α) = - cos α EJEMPLOS sen 210º = sen (180º + 30º) = - sen 30º cos 225º = cos (180º + 45º) = - cos 45º sen 240º = sen (180º + 60º) = - sen 60º cos 195º = cos (180º + 15º) = - cos 15º 90º α 0º 180º β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT ÁNGULOS QUE SUMAN 360º ANGULOS QUE SUMAN 360º Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 4º Cuadrante. En la figura: α + β = 360º En ellos sen α = - cos β cos α = sen β O expresado de otra manera: sen (360º - α) = - cos α cos (360º - α) = sen α EJEMPLOS sen 300º = sen (360º - 30º) = - cos 30º cos 315º = cos (360º - 45º) = sen 45º sen 330º = sen (360º - 30º) = - cos 30º cos 345º = cos (360º - 15º) = sen 15º 90º α 0º 180º 270º β @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT ÁNGULOS NEGATIVOS ANGULOS NEGATIVOS Todo ángulo negativo se corresponde con otro positivo, simétrico respecto al eje de abscisas. En general el ángulo negativo estará en el 4º Cuadrante y su simétrico en el 1º Cuadrante. En la figura: α = - β En ellos sen α = - sen β cos α = cos β O expresado de otra manera: sen (- α) = - sen α cos ( - α) = cos α EJEMPLOS sen ( - 30º) = - sen 30º cos (- 45º) = cos 45º 90º α 0º 180º β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT