POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA.

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Transcripción de la presentación:

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA TRIGONOMÉTRICA

Los números complejos en forma trigonométrica se expresan Recuerda que: Los números complejos en forma trigonométrica se expresan z= (cos+i sen) z=  cis :

.   Recuerda que: z=(cos+i sen) y=(cos+i sen) . Multiplicación . cos(+)+i sen(+) Z .Y= . División   cos(–)+i sen(–) Z:Y=

Ejemplo 1 i i Efectúa: 2 1 0,9 + 1 = (0,9)2 + 2 . 0,9 . + 2 = (0,9)2 + 2 . 0,9 . + 1 2 i Ejemplo 1 = 0,81 + 0,9 . i + 0,25(–1) –0,25 = 0,56 + 0,9 i .

Si z = (cos+i sen) es un número complejo y n, se cumple: Teorema de Moivre Si z = (cos+i sen) es un número complejo y n, se cumple: zn = n(cos n+i sen n) :

Notación abreviada zn = n(cos n+i sen n) zn= n ci s n .

Ejemplo Calcula zn si: z = 0,2(cos 23o + i sen 23o) z3 = 0,0029+ 0,0075 i .

Teorema Si z = (cos  +i sen ) es un número complejo y n, entonces Z tiene n raíces n-ésimas dadas por la expresión: zk =  [cos + i sen  K = 0 ; 1 ; ….; n – 1 n  + 2k n  + 2k n Nota: Siempre tomamos la raíz aritmética de 

a) z = 3 cis 26o n= 6 n= 5 Calcula zn si: z6 = 729 cis 156o ESTUDIO INDIVIDUAL Calcula zn si: a) z = 3 cis 26o n= 6 z6 = 729 cis 156o . b) z = – 2 + 2i n= 5 z5 = 1282 cis 315o

=12+(–1)2 =2  =45o tan  = – 1 tan  = 1  =315o Calcula zn si: z = 1 – i n = 4 a = 1 b = – 1 =12+(–1)2 tan  = – 1 =2 tan  = 1  =45o Afijo (1;–1)  =315o Cuarto cuadrante: 360o – = 360o – 45o = 315o

z4 = (2)2(cos 12600 + i sen 12600) z4 = 4 (cos 1800 + i sen 1800) z4 = (2)4(cos 4·315o + i sen 4·315o) z4 = (2)2(cos 12600 + i sen 12600) z4 = 4 (cos 1800 + i sen 1800) z4 = 4 (–1 + 0) z4 = – 4 .