Investigación operativa INECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Identidades, ecuaciones e inecuaciones Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de la incógnita o incógnitas: x = x ,, (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 ,, (x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2 ECUACIÓN Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: 2x = 4 Sólo para x = 2 x2 = 4 Sólo para x = 2 y para x = - 2 y = 2x Sólo cuando el valor de y sea doble que el valor de x. INECUACIÓN Es una desigualdad que sólo se cumple en un intervalo finito o infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen: x < 2 ( - oo , 2 ) x ≥ - 4 [ - 4 , + oo )
Inecuaciones RELACIÓN DE ORDEN V a,b ε R, a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 Que se lee: “Para todo par de valores a, b pertenecientes al conjunto de los números reales, decimos que a es menor o igual que b si se cumple que b – a es un valor mayor o igual que cero y viceversa.” INECUACIÓN Es una desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos. Signo : Se lee : x < y x es siempre MENOR que y x ≤ y x es MENOR o IGUAL que y x > y x es siempre MAYOR que y x ≥ y x es MAYOR o IGUAL que y
Transformaciones de equivalencias Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si a < b a+c < b+c Si 3 > 1 3+2 > 1+2 5 > 3 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si c ε R+ y a < b a.c < b.c Si - 2 < 3 (- 2). 4 < 3. 4 - 8 < 12 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la dada. Si c ε R- , y a < b a.c > b.c Si 2 < 3 2. ( - 5 ) < 3. ( - 5 ) - 10 < - 15 - 10 > - 15
Inecuaciones lineales Una inecuación es lineal si el grado de todas las incógnitas es uno. Ejemplos: 2 + x ≥ 4 x ≤ y + 5 3 + z > x + y x / 2 + y < z + t INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA La solución de una ecuación lineal con una incógnita ( x ), una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser: Todo R El conjunto vacío. Una de las siguientes semirrectas: x < a x ε (-oo, a) x ≤ a x ε (-oo, a] x > a x ε (a, +oo) x ≥ a x ε [a, +oo) Ejemplo: x ‑ 2 < 0 x < 2 x ε (- oo, 2)
EJEMPLOS SOLUCIONES: Sean las inecuaciones: 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2 SOLUCIONES: 1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2 Solución = { V x ε R / x ε [ 2, + oo ) } 2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = { V x ε R / x ε ( - oo, - 5 ) } 3.- x > x + 2 x - x > 2 0 > 2 FALSO Solución = Ø (Conjunto vacío)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sea la inecuación: 2 – x x – 3 4.- -------- – ----------- + 2 > x 5 6 SOLUCIÓN: 6(2 – x) – 5( x – 3 ) 4.- ----------------------------- + 2 > x 30 4.- 12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x x < 87/41 Solución = (- oo , 87/41)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: 5.- x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3 SOLUCIONES: 5 3.(x – 1) + 30 5.x ----------------------- < --------- 15 15 5.- 3.(x – 1) + 30 < 5.x 3.x – 3 + 30 < 5.x 5.- – 3 + 30 < 5.x – 3.x 27 < 2.x x > 13,5 5.- Solución = ( 13,5 , oo )
SISTEMAS DE INECUACIONES Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el que está compuesto por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita. La solución de un sistema serán todos los valores de la incógnita (x) que satisfagan todas las inecuaciones, es decir la intersección de las soluciones de todas las inecuaciones. La solución, una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser: Todo R El conjunto vacío x = a Una semirrecta Uno subconjunto abierto, cerrado o semiabierto.
Resolución de sistemas 1.- 2.x ‑ 3 ≤ x x ≤ 3 x ≤ 3 Solución: (- 1, 3 ] - 1 < x ≤ 3 - 1 3 2.- 2.x ‑ 4 ≤ 2 2x ≤ 6 x ≤ 3 x - 5 > - x + 1 2x > 6 x > 3 Solución: Ø 3 R
x + 3 > - x + 1 2x > - 2 x > - 1 3.- x ‑ 3 ≤ x 0 ≤ 3 x = R x + 3 > - x + 1 2x > - 2 x > - 1 Solución: (- 1, + oo ) x > - 1 - 1 0 1 R - 1 4.- x + 4 ≤ 8 x ≤ 4 x - 5 ≥ 1 x ≥ 6 Solución: Ø 4 6 R
PROBLEMAS de INECUACIONES Se siguen los mismos pasos que para resolver problemas de ecuaciones. Hay que tener especial cuidado al leer el enunciado; siempre hay algún indicio que nos señala que debemos obtener del mismo inecuaciones, no ecuaciones. Y la solución no es única, sino un conjunto o intervalo de valores. PROBLEMA_1 Hallar el número de personas que trabajan en una oficina, si al tomar vacaciones la cuarta parte de los oficinistas quedan menos de 18 personas trabajando, y si hacen vacaciones la tercera parte, los que quedan trabajando son más de 14. RESOLUCIÓN Sea x el número de personas que trabajan en la oficina x – x/4 < 18 3x/4 < 18 3x < 72 x < 24 x – x/3 > 14 2x/3 > 14 2x > 42 x > 21 Solución: Trabajan 22 ó 23 personas
PROBLEMA_2 Un comerciante vende 70 ordenadores de los que tiene en almacén y le quedan por vender más de la mitad. Recibe 6 unidades más y vende 36, con lo que le quedan menos de 42 por vender. ó Cuántos ordenadores tenía en el almacén inicialmente? RESOLUCIÓN Sea x el número de ordenadores que tenía inicialmente x – 70 > x / 2 2.x – 140 > x x > 140 x – 70 + 6 – 36 < 42 x – 100 < 42 x < 142 Solución: Tenía 141 ordenadores. PROBLEMA PROPUESTO Ayer fui a comprar 14 disquetes de ordenador y pagué algo más de 4,5 euros. Hoy he vuelto a comprar otros 20 , cada uno costaba 1 céntimo de euro menos que ayer, di 6,5 euros y dejé la vuelta de propina. ¿Cuánto costaba ayer cada uno ?.
PROBLEMA_3 Pedro tiene el triple de edad que Juan y Luis la mitad que Juan. Entre todos tienen menos de 12 años. Sumando la edad del que tiene más con la edad del que tiene menos, salen más de 6 años. ¿Qué edad tiene cada uno ? RESOLUCIÓN En lugar de: x = Edad de Juan y = Edad de Pedro z = Edad de Luis Planteamos: x = Edad de Juan 3.x = Edad de Pedro x/2 = Edad de Luis Sea x la edad de Juan, 3.x la edad de Pedro y x/2 la edad de Luis. x + 3.x + x/2 < 12 9.x < 24 x < 24/9 x < 2,66 3.x + x/2 > 6 7.x > 12 x > 12/7 x > 1,71 Solución: Juan tiene 2 años, Pedro tiene 6 años y Luis tiene 1 año.