BLOWING-UP PARA SISTEMAS BIDIMENSIONALES Sergio A. Véliz-Retamales Eduardo González-Olivares e-mail: sergio.veliz.r@mail.ucv.cl ejgonzal@ucv.cl Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas ,Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,Casilla 4059, Valparaíso, Chile

dos modelos depredador-presa, y probaremos que las soluciones para estos sistemas son acotadas usando la compactificación de Poincaré y para desingularizar el origen en el nuevo sistema usaremos el método de Blowing up MODELO DEPREDADOR-PRESA CON RESPUESTA FUNCIONAL NO MONOTÓNICA RACIONAL

El es el sistema es del tipo Kolmogorov definido sobre: Todos los parámetros son positivos i.e., y tienen los siguientes significados: K es la capacidad de soporte del medio ambiente . r representa la tasa intrínseca de crecimiento per cápita de la población de presas c es la tasa de muerte intrínseca (natural) del depredador. q es la tasa máxima de consumo per capita de los depredadores (tasa de saciación).

es el tamaño poblacional de la presa en la cual la tasa máxima de consumo es obtenida p es la eficiencia con que los depredadores convierten las presas consumidas en nuevos nacimientos de depredadores ,nosotros asumimos notamos que es la tasa máxima de consumo per cápita, i.e. el número máximo de presas por la unidad de tiempo que puede ser comida por un depredador.

Siguiendo la metodología de Dumortier hacemos una reparametrización de el campo vectorial considerando el cambio de variables y rescalando el tiempo de la función con ,tal que ,y nosotros obtenemos que

Esto es , es un difeomorfismo que preserva la orientación en el tiempo Esto es , es un difeomorfismo que preserva la orientación en el tiempo. Por lo tanto obtenemos un campo vectorial cualitativamente equivalente (topologicamente) el cual tiene la forma El cual tiene solo tres parárametros

LAS SOLUCIONES SON ACOTADAS La Matriz Jacobiana es: TEOREMA: LAS SOLUCIONES SON ACOTADAS DEMOSTRACIÓN ,además luego:

Luego Para desingularizar el origen del campo vectorial utilizamos a continuación el método de blowing-up, haciendo cambio de variables y Entonces:

Reordenando el sistema obtenemos Reemplazando en el sistema original y simplificando

Los componentes de la Matriz Jacobiana son:

Por lo tanto Del cual

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