Logaritmos Prof. María Elena Chávez. 5° Secundaria 2013

APRENDIZAJES ESPERADOS Analizar función exponencial y función logarítmica. Aplicar las propiedades de logaritmos en ejercicios propuestos. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Contenidos 1. Logaritmos 2. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1.1 Definición 1.2 Propiedades 1.3 Logaritmol 2. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 2.1 Ecuación exponencial 2.2 Ecuación Logarítmica

Química: para calcular el PH de las sustancias: PH = -log10H+ Geología: en la Escala de Richter, que mide las fuerzas de las vibraciones que existen en un seísmo. Esta intensidad se puede conocer gracias a esta escala creada en base a los logaritmos Estadística: para calcular el crecimiento de la población Astronomía: las estrellas se dividen según el grado de luminosidad visible en astros de 1ª, 2ª, 3ª, etc., magnitud. La luminosidad objetiva constituye una progresión geométrica de razón 2.5. En pocas palabras, al establecer la luminosidad visible de una estrella, el astrónomo opera con las tablas de logaritmos de base 2.5

1. Logaritmos 1.1 Definición loga(b)= n an = b Ejemplo: Logaritmación es una operación inversa de la potencia Que consiste en calcular el exponente cuando se conoce La base b y la potencia N. “ n es logaritmo de b en base a”, con b>0, a>0 y a ≠ 1 Ejemplo: log2(8)= 3 23 = 8 log3(5)= m 3m = 5 log4(64)= 3 43 = 64 log10(0,1)= -1 10-1 = 0,1

1.2 Propiedades loga(a)= 1 a1 = a loga(1)= 0 a0 = 1 Ejemplo: a) Logaritmo de la base: Ejemplo: log8(8)= 1 81 = 8 b) Logaritmo de la unidad: loga(1)= 0 a0 = 1 Ejemplo: log9(1)= 0 90 = 1

loga(b·c)= loga(b) + loga(c) c) Logaritmo del producto: Ejemplo: log8(2) + log8(4) = log8(2·4) = log8(8) = 1 d) Logaritmo del cociente: loga(b:c)= loga(b) - loga(c) Ejemplo: log3(21) – log3(7)= log3(21:7)= log3(3)= 1

loga(b)n = n · loga(b) loga bm = m · loga(b) Ejemplo: √ n Ejemplo: √ e) Logaritmo de una potencia: Ejemplo: Si log2(3) = m, entonces: log2(81) = log2(3)4 = 4 · log2(3)= 4m f) Logaritmo de una raíz: loga bm = m · loga(b) √ n Ejemplo: log7 2 = 1 · log7(2) 3 √

loga(b) = _____ log27 9 = ______ = _ logc(b) logc(a) Ejemplo: log3 9 2 g) Cambio de base: loga(b) = _____ logc(b) logc(a) Ejemplo: log27 9 = ______ log3 9 log3 27 = _ 2 3 Errores frecuentes loga(b) · loga(c) ≠ loga(b) + loga(c) logc(b) ______ ≠ logc(a) logc(b) - logc(a)

1.3 Logaritmo decimal log10(b) = log (b) Ejemplo: - Son aquellos cuya base es 10 y no se escribe log10(b) = log (b) Ejemplo: log10(100) = log (102) = 2 log10(1.000) = log (103) = 3 log10(0,001) = log (10 3) = -3 -

2. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 2.1 Ecuación exponencial Son aquellas ecuaciones, en las que la incógnita se encuentra en el exponente. a) Bases iguales: Si ab = ac, entonces b=c (Esto es válido para todo a, b y c, distinto de cero). Ejemplo: Si 3x = 81  3x = 34  x=4

Ejemplo: b) Bases distintas: Si ab = bc entonces aplicamos logaritmos. Si ax = bc entonces, aplicando logaritmos: log(ax) = log(bc) x · log(a) = c · log(b) x = ________ log(a) c · log(b)

2.2 Ecuación logarítmica Si logc(a) = logc (b) entonces a = b Ejemplo: Esto es válido para todo a, b y c, mayores que cero y c ≠ 1 Ejemplo: log(5x) = 2 log(5x) = log(100) 5x = 100 x = 20

Log (5x-3) _ log X =1,el valor de “X” es: 2 2 A)0 B) 1 C)10 D)2 E) 20 5._El valor de la expresión: Log 0,25 + log 0,125 _ log 0,0625 es: 2 2 2 A)1 B) 2 C)-3 D)-1 E) N.A   6,_En la Ecuación : Log (5x-3) _ log X =1,el valor de “X” es: 2 2 A)0 B) 1 C)10 D)2 E) 20 7-_En la ecuación: Log (2X + 21) _ log X = 2.El valor de “X”es: 3 3 A)3 B) 8 C)21 D)21/2 E) 21/8

Aplicatividad de los logaritmos en nuestro contexto APLICACIÓN : La escala de Richter, que fue desarrollada en 1935 para California, lleva el nombre del geofísico estadounidenses Charles Francis Richter ;cuya formula para medirla intensidad de un sismo es log a (cm/s²) = I/3 - 1/2,.

concentración de iones de hidrogeno» «El químico danés Sorensen definió al pH como el logaritmo negativo de la concentración de iones de hidrogeno» pH = - log [H+] pH. Medida de la acidez o de la alcalinidad de una sustancia. Es el logaritmo negativo de la concentración de iones de hidrógeno. Una escala numérica utilizada para medir la acidez y basicidad de una sustancia. Valor absoluto del logaritmo decimal de la concentración de ion hidrógeno (actividad). Usado como indicador de acidez (pH < 7) o de alcalinidad (pH > 7).