PROPORCIONALIDAD INVERSA Tema 2 Tercer trimestre

2.1 Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones: PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. SEGUNDA: En todo momento el producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. El producto, k, de esas dos magnitides se llama constante de proporcionalidad. Magnitud M a  b  c Magnitud N a’  b’  c’ a.a’ = b.b’ = c.c’ = k

EJEMPLO Un padre decide repatir 55 € entre sus hijos en función del número de días que han llegado tarde a casa. Magnitud “Paga” 10  20  25 Magnitud “Nº días” 10  5  4 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. 20 > 10  5 < 10 25 > 20  4 < 5 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 10.10 = 20.5 = 25.4 = 100 , como vemos es un valor constante Las dos magnitudes dadas son inversamente proporcionales.

CONTRAEJEMPLO Tres alumnos que dedican 10, 15 y 20 horas mensuales a la lectura cometen en un mismo texto escrito 40, 30 y 20 faltas de ortografía respectivamente. Magnitud “Horas” 10  15  20 Magnitud “Faltas” 40  30  20 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. 15 > 10  30 < 40 20 > 15  20 < 30 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 10.40 = 400 ,, 15.30 = 450 ,, 20.20 = 400 Vemos que no es un valor constante. Las dos magnitudes dadas NO son inversamente proporcionales.

2.2 Repartos proporcionales inversos Como en dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple siempre que: a.a’ = k 1 Podemos poner que a : ---- = k a’ Luego a y ---- son directamente proporcionales. Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números 10, 5 y 2 es equivalente a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a 1 / 10 = 0,1 , 1 / 5 = 0,2 y 1 / 2 = 0,5

EJEMPLO: Se venden tres máquinas por 1700 €, en razón inversamente proporcional al número de años de cada una, que son de 10,20 y 50 años respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?. RESOLUCIÓN: Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: a b c 1700 ------- = ------- = -------- = ----------------------- = r 1/10 1/20 1/50 1/10+1/20+1/50 Como r =1700 /(0,1+0,05+0,02) = 1700 / 0,17 = 10000 a = r.0,1 = 10000.0,1 = 1.000 b= r.0,05 = 10000.0,05 = 500 c= r.0,02 = 10000.0,02 = 200