SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PERÍMETROS, ÁREAS y VOLÚMENES Teorema de Tales SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PERÍMETROS, ÁREAS y VOLÚMENES

Teorema de Tales Por el Teorema de Tales, los segmentos resultantes de cortar a dos rectas por varias rectas paralelas, son proporcionales. De igual manera los triángulos que se originan son semejantes, pues sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales. Los triángulos ROJO, AZUL y CRIS son semejantes.

Teorema de Tales Por el Teorema de Tales: a b c a+b a+b+c --- = --- = --- = ----- = --------- d e f d+e d+e+f También, indirectamente: a a+b a+b+c --- = ------ = --------- g h i Y también: d d+e d+e+f a d g b e h c f i

Teorema de Tales C = C’ = C” Las anteriores relaciones entre los lados de los diferentes triángulos no sería posible si los ángulos de lados paralelos no fueran iguales: A = A’ = A” B = B’ = B” B” A” B’ A’ B A

Teorema de Tales C = C’ = C” Las anteriores relaciones entre los lados de los diferentes triángulos si éstos son RECTÁNGULOS reciben el nombre de RAZONES TRIGONOMÉTRICAS, siendo estas razones el fundamento de la TRIGONOMETRÍA (4º ESO). A” B”=90º B’ = 90º A’ B = 90º A

Problema_1 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m H 8,4 H 1 m s S

Problema_2 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 s 1 10 - S --- = ------  ------ = -------- H S 4.S S 1 = 40 – 4.S  4.S = 39  S = 9,75 m Luego H = 4.S = 4.9,75 = 39 m H 1 m s S

Problema_3 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que la sombra de la varilla, en ese instante, mide 35,4 m menos que la altura del edificio; y que la sombra del edificio mide 1,57 m. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 s 1 H – 35,4 --- = ------  ------ = ------------ H S H 1,57 1,57 = H2 – 35,4.H  H2 – 35,4.H – 1,57 = 0 Resolviendo la ecuación: H = 35,44 m H 1 m s S

PROPIEDADES Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES * Razón de los PERÍMETROS = Razón de semejanza. * Razón de las ÁREAS = CUADRADO de la razón de semejanza. * Razón de los VOLÚMENES = CUBO de la razón de semejanza. Escalas. ESCALA es la razón de semejanza entre el original y su representación. ESCALA 1: 200 Escala gráfica es una recta graduada según la escala numérica correspondiente.

Ejemplo: Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto. Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m respectivamente). ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?. Perímetro antiguo: P = 3+3+4+4 = 14 m Perímetro nuevo: P’ = 6+6+8+8 = 28 m Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2

… Ejemplo: Área base antigua: A = 3.4 = 12 m2 Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m2 Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r2 = 22 = 4 Volumen prisma antiguo: V = 3.4.5 = 60 m3 Volumen prisma nuevo: V’ = 6.8.10 = 480 m3 Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r3 = 23 = 8 En general podemos decir que si en un cuerpo las dimensiones aumentan (o disminuyen) r veces, las superficies aumentan (o disminuyen) r2 veces, y los volúmenes aumentan (o disminuyen) r3 veces.

A=48 A=12 5 cm 5 cm Como se aprecia en la figura superior, al multiplicarse por 2 la base y la altura, al área ha quedado multiplicada por 4. De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm