Matemáticas Acceso a CFGS DERIVADA Y PENDIENTE Bloque III * Tema 119 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS PENDIENTE Y DERIVADA Observar la gráfica de la función. La tangente a la gráfica en x=b será una recta horizontal y por tanto de pendiente m=0 Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos (o los Mínimos) relativos de dicha función. La recta tangente a la gráfica en x=a tiene pendiente positiva. La recta tangente a la gráfica en x=c tiene pendiente negativa En aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m<0 m=0 m>0 0 a b c @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x En x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím ----------------- = h0 h - (1+h)2 + 4.(1+h) – ( - 1+ 4) = lím ----------------------------------- = -1-2h-h2 + 4 + 4h + 1 - 4 = lím --------------------------------- = 2h - h2 = lím ---------- = 2 – 0 = 2 h0 h f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m<0 m=0 m>0 2 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS … EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x En x=3 f(3+h) – f(3) f ’(3) = lím ----------------- = h0 h - (3+h)2 + 4.(3+h) – (- 9+ 12) = lím ----------------------------------- = -9-6h-h2 + 12 + 4h + 9 - 12 - 2h - h2 = lím ---------- = - 2 – 0 = - 2 h0 h f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente m<0 m=0 m>0 2 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS … EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x En x=2 f(2+h) – f(2) f ’(2) = lím ----------------- = h0 h - (2+h)2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8) = lím ----------------------------------- = - 4 - 4h -h2 + 8 + 4h + 4 - 8 - h2 = lím ---------- = - h = - 0 h0 h f ’(2) = m = 0  Máx o Mín m<0 m=0 m>0 2 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Otras aplicaciones Observar la función f(x)=|x – 3| Si hallamos su derivada en x=3 |3+h–3| – |3 – 3| f ’ (3)= lím ----------------------- = h0 h |h| +0 / +0 = 1 si h0+ lím ----- = h0 h +0 / -0 = -1 si h0+ Al no ser iguales los límites laterales no tiene derivada en x=3, aunque sea continua en dicho punto. Conclusión: En los puntos angulosos una función no es derivable. Gráficamente presentaría infinidad de rectas tangentes, no una. 0 3 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Otras aplicaciones Observar la función f(x)= 6 / (x – 3) Si hallamos su derivada en x=3 6/(3+h–3) – 6/(3–3) f ’ (3)= lím --------------------------- = h0 h 6/h – 6/0 0 – 6.h lím ------------- = lim ------------ = h0 h h0 0.h.h = – 6h / 0 = – oo Conclusión: Si al hallar la derivada en un punto, su valor resulta + oo ó – oo, la recta tangente es vertical. Eso no significa necesariamente que en dicho punto halla una asíntota vertical. 0 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS