LEYES DE SENOS Y COSENOS DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS
LEY DEL SENO La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera. A b a C α β φ y x c-x M c B 1.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: A, M y C obteniendo: 2.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: M, B y C obteniendo: 3.- Igualando las 2 ecuaciones se tiene:
LEY DEL SENO Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones, tenemos: A α β φ y x c-x M c B Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones, tenemos:
LEY DEL COSENO Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el valor de los lados a, b y c. A b a C α β φ y x c-x M c B 1.- Se escoge el triángulo rectángulo formado por los puntos: B, M y C. Y usamos el teorema de Pitágoras: a² = y² + (c - x)² a² = y² + c² - 2cx + x² a² = x² + y² + c² - 2 c x Ec. 1 3.- Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1, se tiene : 2.- Ahora tomamos el triángulo formado por los puntos: A, M y C. Y también usamos el teorema de Pitágoras: b² = x² + y² Ec. 2 Asimismo: Ec. 3
LEY DEL COSENO a² = b² + c² - 2b·c·cos α b² = a² + c² - 2a·c·cos β La Ley del Coseno sirve para analizar y resolver triángulos que NO necesariamente son triángulos rectángulos. Mediante las siguientes ecuaciones: a² = b² + c² - 2b·c·cos α b² = a² + c² - 2a·c·cos β c² = a² + b² - 2a·b·cos La Ley del Coseno permite encontrar el valor de uno de los lados de un triángulo conociendo de antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los valores de los otros dos lados.