Variables aleatorias y sus distribuciones Variables aleatorias discretas Media y varianza La distribución binomial Distribuciones continuas La distribución normal Una función de una variable aleatoria

Características Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y definida sobre un espacio muestral Una variable aleatoria discreta toma diversos valores con probabilidades especificadas por su distribución de probabilidad Utilidad de una v.a.: reduce el espacio de muestra a uno más fácil de manejar Ejemplo: En una familia de 3 hijos, cuál es la probabilidad de que haya un varón o menos?

a) Variable aleatoria X= “Cantidad de varones” b) Diagrama de su distribución de probabilidad

Variable aleatoria general X

Variable aleatoria Frecuentemente interesa conocer más que el resultado de un experimento aleatorio, una función de dicho resultado. Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y definida sobre un espacio muestral Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir la función como X: X: número de caras que resultan del experimento.

Variable aleatoria Hemos definido una función del espacio muestral en la recta. Tales funciones X, cuyos valores dependen del resultado de un experimento aleatorio se llaman variables aleatorias. Si toma ciertos valores aislados de un intervalo, es v.a. discreta, sino continua. La distribución se puede representar como: Tabla Diagrama Fórmula

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es el conjunto de sus posibles valores numéricos x1, x2,…,xn y las probabilidades correspondientes Pi, i=1,2,…,n tal que: La colección de pares (xi,p(xi)) es llamada distribución de probabilidad.

Media y Varianza Si el tamaño de la muestra aumentara ilimitadamente, la distribución de frecuencia relativa se fijaría en la distribución de probabilidad. A partir de la distribución de frecuencia relativa, se puede calcular la media y la varianza de la muestra (Cap. 2) Es natural que a partir de la distribución de probabilidad se calculen los valores análogos con las siguientes definiciones:

Definiciones

Cálculo de la media y la varianza de X= número de varones

Función de densidad de probabilidad La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X se denota como: Se define de modo tal que: representa la probabilidad de ocurrencia de X en el intervalo:

Función de densidad de una Variable aleatoria Propiedades

Esperanza de una variable aleatoria Sea X una V.A. continua que toma los valores x1,x2,…xn con f.d. fx(xi), entonces: Si X es una V.A continua entonces: E(X) también se la conoce como media de X, o media de la población y se la nota E(X)=μ

Varianza de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con función de densidad fx(x), definimos varianza de X: Si X es una variable discreta Si X es una variable continua

Varianza de una variable aleatoria La varianza sigma cuadrado es una medida de dispersión de los valores de la variable aleatoria con respecto a su centro de gravedad μ. Consideremos una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad. E(X)=6*0.4+7*0.4+8*0.2=6.8 Var(X)=(6-6.8)^2*0.4+(7-6.8)^2*0.4+ (8-6.8)^2*0.2=0.56 X 6 7 8 f(x) 0.4 0.2

Transformación lineal Y de una v.a. X

Asimetría

Distribuciones

Función de distribución acumulada Se define como la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que algún valor particular. F(x)=P[X≤x] Si X es una variable aleatoria discreta Como F(x) representa una probabilidad es claro que 0≤F(x)≤1 además:

Función de distribución acumulada Limite Fx=0 X→-oo Limite Fx=1 X→+oo Si x1 < x2 entonces Fx(x1) ≤ Fx(x2) La función acumulada para la variable aleatoria continua X será:

Distribuciones de variable discreta (Probability Density Functions)

Distribuciones de variable continua

Procesos de Bernoulli Hay un cierto número de fenómenos aleatorios conocidos como procesos de Bernoulli. Se denominan ensayos de Bernoulli, a aquellos ensayos independientes que repetidos un número fijo de veces tienen las siguientes características: Hay sólo dos resultados posibles: éxito o fracaso La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Independencia.

Ensayos de Bernoulli Tirar una moneda, suponiendo que la moneda es perfecta, cada tirada se denomina un ensayo y tiene dos posibles resultados: uno de ellos se considera éxito. P(E)=p y P(F)=q Extraemos de una urna con 4 fichas rojas y 3 azules una bolilla; anotamos su color y la devolvemos a la urna. P(roja)=4/7 y P(azul)=3/7 Proceso de fabricación de artículos electrónicos: elección de una muestra, defectuoso o no defectuoso.

Distribución Binomial: para v.a. discretas En general, para n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli, la probabilidad de obtener v éxitos está dada por: Coeficientes binomiales:

Distribución Binomial Se define la variable aleatoria : X= “número de éxitos en las n repeticiones”, Se dice que sigue una distribución binomial o sigue un Modelo Binomial con parámetros n y p. E(X)=np Var(X)=npq La distribución acumulada es:

Ejemplos de variables binomiales

EJEMPLO Consideremos el experimento de lanzamiento de dos dados: 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Distribuciones de variable continua

Ejemplo continuo Conviene cambiar! Nueva escala! Histograma de frecuencia relativa b) Trazado a nueva escala en la densidad de f.r. Ejemplo continuo La suma de frec relativas es 1 Conviene cambiar! Cubre un área total igual a 1 Nueva escala!

Qué sucede con la densidad de frecuencia relativa de una v. a Qué sucede con la densidad de frecuencia relativa de una v.a. continua a medida que aumenta el tamaño de la muestra? Influyen menos las fluctuaciones de la suerte. Permite una definición más clara de las células Mientras el área permanece fija, la densidad de frecuencia relativa tiende a la función de densidad de probabilidad.

Relación entre la densidad de frecuencia relativa y la densidad de probabilidad

Distribución normal (curva de Gauss) Curva campana simétrica

Distribución Normal Standard Una variable con distribución normal estándar (μ=0 σ=1) se nota con la letra Z. Si: Conversión: la variable Z se define como: Para que tenga una distribución Normal estándar.

Efectos de escala

Distribución Normal Se ve que -como en cualquier distribución continua- la probabilidad de que P(X=a)=0 para cualquier a. Luego lo que se calculan son áreas (gráfico).

Distribución Normal

Ejemplos

Ejemplo Complemento Simetría

Distribución Normal Es la más usada de las distribuciones continuas de probabilidad, ya que es la distribución límite de varios modelos, incluso discretos y ajusta muy bien a muchas situaciones reales. Su función de densidad es la siguiente: Su forma es la conocida campana de Gauss. Una vez que se especifican la media μ y el desvío estándar σ, la curva normal queda completamente determinada. Si una v.a. continua X sigue una distribución Normal con parámetros μ y σ, lo denotamos como:

Distribución Normal Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con distintos valores de la media y la desviación típica. La verde es la "normal reducida", de media cero y desviación típica uno.

Distribución Geométrica Definimos sobre Ω , la variable aleatoria X que denota el número de repeticiones necesarias hasta obtener el primer éxito. Es claro que dicha variable asume los valores 1,2,3,….etc. Esta variable aleatoria así definida sigue la distribución: q=1-p Esta variable con distribución geométrica tiene las siguientes propiedades:

Distribución de Poisson El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado a menudo para variables aleatorias distribuidas en el tiempo o en el espacio. Por ej: Número de bacterias por cm3 de agua, número de accidentes con motocicletas por mes, etc. Para que el modelo de Poisson esté presente debe verificar lo siguiente: Los sucesos que ocurren en un intervalo (de tiempo, región del espacio, etc) son independientes de los que ocurren en cualquier otro intervalo (de tiempo, región del espacio, etc) La probabilidad de que un suceso se presente, es proporcional a la longitud del intervalo. La probabilidad de que uno o mas sucesos se presenten en un intervalo muy pequeño es tan pequeña que puede despreciarse.

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson La función de densidad de probabilidad es: (1) E(X)=λ Var(X)= λ La función de distribución acumulada (fda) esta dada por:

Proceso de Poisson Considere eventos aleatorios tales como el arribo de aviones a un aeropuerto, el arribo de barcos a un puerto, el arribo de llamadas a una central, la falla de máquinas en una fábrica, etc. Estos eventos pueden ser descriptos por una función de conteo N(t) definida para todos los t >=0. Esta función de conteo representará el número de eventos que ocurrirán en [0,t]. El tiempo cero es el punto en el cual la observación comienza, ya sea que un arribo ocurra o no en ese instante. Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson, la probabilidad de que N(t)=n es: (2)

Función de Densidad Si comparamos la ecuación (1) con (2) vemos que N(t) tiene una distribución de Poisson con parámetro α=λt, por lo tanto su media y su varianza son: E[N(t)] = α = λt = V[N(t)]

Distribución uniforme Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. Una variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en el intervalo (a,b) si su función es la siguiente: La función de distribución acumulada esta dada por: La media y la varianza de la distribución están dadas por:

Distribución uniforme

Distribución triangular La esperanza es:

Distribución Exponencial Esta distribución ha sido usada para modelar tiempos entre arribos cuando los arribos son totalmente aleatorios (ver relación con Poisson). Su función de densidad de probabilidad esta dada por: La fda se define como

Distribución Exponencial

Distribución chi-cuadrado Brinda un criterio de “bondad del ajuste” Se usa para decidir si ciertas variables son independientes o no Def.: sea Z1, Z2, …Zk k distribuciones normales estándar. Entonces es la distribución chi-cuadrado con k grados de libertad

Distribución para k=1,4,6,8 La distribución no es simétrica Es sesgada a la derecha Para valores grandes de k la distribución se acerca a la distribución normal K=1 K=4

Lectura obligatoria Cap. 4 Wonnacott - Págs 77-100 Cap. 6 Rao – Págs 452-487