Método por determinantes Método de Crammer y Método de Gauss-Jordan Universidad Nacional Autónoma de México Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Vallejo Matemáticas III

Método de Crammer Consiste en obtener las matrices en sistema de ecuaciones lineales 3x3 Ejemplo: 2x+3y-4z-8=0 2x-4y+5z-3=0 X+3y-6z-3=0 X y z 2 3 -4 8 2 -4 5 3 1 3 -6 3

A continuación duplicamos las dos primeras filas al final Procedemos a obtener la Delta o Determinante del Sistema s s= X y z 2 3 -4 2 -4 5 3 -6 Colocamos solo las matrices de X, Y y Z A continuación duplicamos las dos primeras filas al final MÉTODO DE cRAMMER

Lo que se realiza a continuación es un producto cruzado para obtener el resultado de la Delta del Sistema Lo que obtendríamos seria: s= 2 3 -4 2 -4 5 3 -6 X y z ((48)+(-24)+(15))-((16)+(30)+(-36) (39) - (10) s= 29 MÉTODO DE cRAMMER

Pasamos a obtener la Delta de X Continuamos con el paso anterior, hacer productos cruzados. X y z 8 3 -4 3 -4 5 3 3 -6 Lo único que cambia son las matrices de X, las cuales son sustituidas por las matrices de los resultados del Sistema de Ecuaciones. Lo que obtendríamos seria: ((192)+(-36)+(45))-((48)+(120)+(-54) (201) - (114) x= 87 MÉTODO DE cRAMMER

E igualmente para las Deltas de Y y Z X y z 2 8 -4 2 3 5 1 3 -6 ((-36)+(-24)+(40))-((-12)+(30)+(-96) (-20) - (-78) y= 58 z= X y z 2 3 8 2 -4 3 1 3 3 ((-24)+(48)+(9))-((-32)+(18)+(18) (33) - (4) z= 29 MÉTODO DE cRAMMER

Para finalizar vamos a dividir las Deltas de X, Y y Z entre la del Sistema: Solo queda comprobar los valores de las incógnitas en el sistema de ecuaciones. 2(3)+3(2) -4(1)-8=0 2(3) -4(2)+5(1)-3=0 (3)+3(2) -6(1)-3=0 6+6 -4-8=0 6 -8+5-3=0 3+6-6-3=0 12 -12=0 11-11 =0 9-9 =0 MÉTODO DE cRAMMER

Método de Gauss-Jordan Parecido al Método de Crammer, solo al sacar igualmente las matrices, pero en este método se debe obtener esta forma en las matrices: 1 -1 3 8 2 -2 4 12 3 -4 5 15 Obtención de las Matrices 1 -1 3 8 0 1 4 12 0 0 1 15 Método de Gauss-Jordan 1 0 0 8 0 1 0 12 0 0 1 15 Método de Gauss-Jordan Completo Ejemplo: x- y+3z-8 =0 2x-2y+4z-12=0 3x-4y+5z-15=0 1 -1 3 8 0 -2 4 12 0 0 5 15 Método de Gauss

MÉTODO DE Gauss-Jordan En el método de Gauss-Jordan, se debe de obtener la línea inclinada central de 1 y los números de bajo de esta deben ser 0. Para lograr esto, los renglones solo pueden ser sumados o restados entre si. NO pueden ser multiplicados o divididos entre si. Pueden solo ser multiplicados o divididos entre una constante. Los renglones en un momento dado pueden intercambiar su lugar. MÉTODO DE Gauss-Jordan

MÉTODO DE Gauss-Jordan Ejemplo: Obtenemos las matrices *Antes de continuar, se recomienda el siguiente orden: x y z R 1 x- y+3z-8 =0 2x-2y+4z-12=0 3x-4y+5z-15=0 R1 1 -1 3 8 2 -2 4 12 3 -4 5 15 1 -1 3 8 0 1 4 12 0 0 1 15 R2 R3 2 -R2+2R1 R2 3 -3R1+R3 R3 1 -1 3 8 0 0 2 4 3 -4 5 15 1 -1 3 8 0 -1 4 -9 0 0 2 4 2 -2 6 16 -2 2 -4 -12 0 0 2 4 1 -1 3 8 0 0 2 4 0 -1 -4 -9 -3 3 -9 -24 3 -4 5 15 0 -1 -4 -9 MÉTODO DE Gauss-Jordan

MÉTODO DE Gauss-Jordan 4 5 R3 / 2 R3 R2 / -1 R2 1 -1 3 8 0 -1 -4 -9 0 0 1 2 1 -1 3 8 0 1 4 9 0 0 1 2 0 -1 -4 -9 / -1 0 1 4 9 0 0 2 4 / 2 0 0 1 2 Terminamos cuando la diagonal central se encuentra en 1 para Gauss-Jordan, solo hace falta, obtener los valores de x, y & z y comprobarlos. Para eso se hace lo sig.: z= 2 1 Z=2 Y=4(2)=9 Y=9-8 Y=1 X=-(1)+3(2)=8 X=8-5 X=3 (x- y+3z-8 =0 2x-2y+4z-12=0 3x-4y+5z-15=0 1x -1y 3z 8 0 1y 4z 9 0 0 1z 2 (3)- (1)+3(2)-8 =0 2(3)-2(1)+4(2)-12=0 3(3)-4(1)+5(2)-15=0 MÉTODO DE Gauss-Jordan

Gracias por su atención =D