la ecuacion de una recta MATE 3011 – PRESENTACION 5 la ecuacion de una recta

La ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma : Ya hemos mencionado La ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma : y = m x + b Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1 Nota: La gráfica tiene tres características distintivas: su inclinación intercepto – y intercepto - x

Noción de pendiente Se describe la inclinación de una recta con una medida llamada pendiente. A mayor pendiente, mayor inclinación. (En la figura L1 está más inclinada que L2.) Para calcular la pendiente, tomamos dos puntos 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 , 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 y calculamos:

Ejemplo Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7). Utilizando la fórmula: 𝒎= 𝟕−𝟑 𝟑−𝟏 𝒎= 𝟒 𝟐 =𝟐 Observemos la figura 4.2 Nota: La pendiente es positiva, la recta «sube» en el plano (de izquierda a derecha

Pendiente Positiva y Negativa Ilustramos ambos casos:

Hallar la pendiente Haz un boceto de la recta que pasa por los dos puntos dados y halla la pendiente. A(-1, 4) and B(3, 2) A(2, 5) and B(-2, -1) A(4, 3) and B(-2, 3) A(4, -1) and B(4, 4) Ilustramos:

Hallar la pendiente (continuación)

Slope of Line (cont’d) (d) La pendiente no está definida.

Esbozar una recta dada la pendiente Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene pendiente igual a a) 5/3 SOLUCION (a) : Dado que P(2, 1) está en la recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba. Esto nos da un segundo punto Q(5, 6). Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.

Esbozar una recta dada la pendiente Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene pendiente igual a b) -5/3 SOLUCION (b) : Dado que P(2, 1) está en la recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo. Esto nos da un segundo punto Q(5, - 4). Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.

Diagrama de diferentes pendientes

Ejemplo: rectas horizontales y verticales Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a el eje de x (b) el eje de y SOLUCION: Una recta paralela al eje de x es una recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4. Una recta paralela al eje de y es una recta vertical. Su pendiente NO está definida. Su ecuación es x = -3.

Forma Punto-Pendiente Dada la pendiente de una recta, m, y un punto sobre la recta, P(x1, y1 ), usamos y – y1 = m(x – x1) , para hallar la ecuación de la recta.

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2). SOLUCION: La figura muestra un boceto de la recta. Para hallar la ecuación necesitamos, primeramente hallar la pendiente. 𝒎= 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 = 𝟕−𝟐 𝟏−(−𝟑) = 𝟓 𝟒

Ejemplo (continuación) Se puede utilizar cualquier de los dos puntos en este paso. Aquí usamos: 𝒎= 𝟓 𝟒 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 𝟏,𝟕 y – y1 = m(x – x1)

Forma Pendiente-Intercepto y = mx + b . El número b es el intercepto en y de la gráfica. La gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto (0, b) . Ilustramos:

Slope-Intercept (cont’d) recta con pendiente (inclinación igual a m

Ejemplo Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto. SOLUCION: 2x – 5y = 8 - 5y = -2x + 8 𝒚= −𝟐 −𝟓 𝒙+ 𝟖 −𝟓 𝒚= 𝟐 𝟓 𝒙− 𝟖 𝟓

Ejemplo Dado 2x – 5y = 8 , esboce la gráfica de la ecuación. SOLUCION: Primeramente, debes clasificar la ecuación. En este caso sabemos que la ecuación es lineal por que el exponente de la variable x y el exponente de la variable y es 1. Hallar los interceptos: int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8 𝒚=− 𝟖 𝟓 𝟎,− 𝟖 𝟓 int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8 x = 4 (4, 0)

Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas, m1 y m2, son paralelas si y solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2 . Dos rectas, m1 y m2, son perpendiculares si y solo si m1m2 = -1 , (esto es, que una de las pendientes es el recíproco negativo de la otra. 𝑚 2 =− 1 𝑚 1 )

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4). Hallar y comparar pendientes: Pendientes iguales; rectas paralelas.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2). Hallar y comparar pendientes: Una pendiente es el recíproco negativo de la otra; rectas perpendiculares.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3 Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto: Pendientes iguales; rectas paralelas 2x = 4y + 3 2x – 3 = 4y 𝟐𝒙−𝟑 𝟒 =𝒚 𝟐 𝟒 𝒙− 𝟑 𝟒 =𝒚 𝒚= 𝟏 𝟐 𝒙− 𝟑 𝟒 –x + 2y = -2 2y = x – 2 𝒚= 𝒙−𝟐 𝟐 𝒚= 𝟏 𝟐 𝒙−𝟏

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4. SOLUCION: Hallar la forma pendiente intercepto de la ecuación: 6x + 3y = 4 3y = 4 – 6x 𝒚= 𝟒−𝟔𝒙 𝟑 𝒚= 𝟒 𝟑 −𝟐𝒙 (La pendiente de esta recta es m = -2) La pendiente de la recta que buscamos es 𝑚 2 =− 1 𝑚 1 , o sea 𝑚 2 = 1 2

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4. SOLUCION (continuación): Con la pendiente de la recta 𝑚 2 = 1 2 y el punto (6, -7) podemos hallar la ecuación. La forma punto-pendiente es y – y1 = m(x – x1) Sustituyendo tenemos: y – (-7) = ½ (x – 6) Simplificando 𝒚+𝟕= 𝟏 𝟐 𝒙−𝟑 𝒚= 𝟏 𝟐 𝒙−𝟑−𝟕 𝒚= 𝟏 𝟐 𝒙−𝟏𝟎 2y – x = -20

Ejemplo (cont.)