Introducción a los Productos Notables M a t e m á t i c a B á s i c a ( C C H H ) (MA120) UPC 2006-2 Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
a + b donde a ; b > 0 (a + b)2 Tenemos un cuadrado cuyos lados miden: a + b donde a ; b > 0 por lo que su área será: (a + b)2 Vamos a determinar el área del cuadrado de otra manera: lo dividiremos en áreas más pequeñas. Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
b Hemos dividido el cuadrado en 2 cuadrados más pequeños (de lados “a” el primero y “b” el segundo) y dos rectángulos (de lados “a” y “b”). a + b a a b a + b Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
b A3 A1 Tendremos entonces cuatro áreas diferentes que sumadas serán iguales al área del cuadrado inicial (de lado “a+b”). a + b a A2 A4 a b a + b Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
b A3 A1 Podemos ver que el área total del cuadrado es igual a la suma del área de los 2 cuadrados (A1 y A2) más los 2 rectángulos (A3 y A4). a + b a A2 A4 a b a + b Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
(a+b)2=a2+2ab+b2 A3 A1 A2 A4 b a + b a a b a + b Luego: (a+b)2=A1+A2+A3+A4 Reemplazando las áreas: (a+b)2=b2+a2+ab+ab y finalmente: (a+b)2=a2+2ab+b2 b A3 A1 a + b a A2 A4 a b a + b Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
(a+b)2=a2+2ab+b2 ab b2 (a+b)2 a2 ab b a + b a a b a + b Luego: (a+b)2=A1+A2+A3+A4 Reemplazando las áreas: (a+b)2=b2+a2+ab+ab y finalmente: (a+b)2=a2+2ab+b2 b ab b2 a + b (a+b)2 a a2 ab a b a + b Copyright © 2006 A. Novoa, UPC
(x+a)(x+b) = x2 + x(a+b) + ab Como hemos visto: (a+b)2=a2+2ab+b2 , a esta igualdad se le llama Producto Notable y existen otros más: (a-b)2 = a2-2ab+b2 (a+b)(a-b) = a2 – b2 (x+a)(x+b) = x2 + x(a+b) + ab (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)(a2+ab+b2) =a3-b3 (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 Copyright © 2006 A. Novoa, UPC