Los vectores Así como la derivada no existe en la naturaleza, y siendo, paradojalmente, su función esencial de explicar gran parte de la naturaleza, tenemos que los vectores tampoco existen en la naturaleza... Y su función esencial es explicar parte del mundo físico. Rigurosamente hablando, el vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones que, hasta el momento, explican de buena manera la naturaleza newtoniana. Nos referimos a los vectores que parecen flechas. La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea de la dirección donde lanzamos o aplicamos este vector. Veremos ahora un álgebra vectorial que nos permitirá tener la base para la realización de modelos matemáticos formidables...
O x y z x y z yOz, zOy, xOy son los planos coordenados Oxyz es un sistema de referencia derecha
y O x y z x z M N r El segmento OP, extendido desde O hasta P, representa el vector La magnitud de es Magnitud, longitud o norma de un vector son términos equivalentes
Un vector es libre de moverse bajo desplazamientos paralelos si queremos medirlo con nuestro sistema de referencia Oxyz x yO A z
x yO A B Suma de vectoresa veces conocida como la ley del paralelogramo C
Producto de un escalar por un vector Todos los vectores multiplos de a son paralelos
a b a - b a + b La diferencia y suma de vectores
r Ejemplo Vectores unitarios La longitud de es unitaria
x yO Los versores cartesianos
Los versores cartesianos como una base z y O x y z x r P M N
Ejemplo: Un bote con una rapidez de U m/h está atravesando un río, donde el flujo de sus aguas lleva una rapidez de V m/h aguas abajo. ¿En qué dirección debe enfilar el bote para realizar el cruce perpendicular al flujo del río, y cuál es su verdadera velocidad? ¿es posible el viaje? Supongamos que el bote toma una dirección en un ángulo respecto de la perpendicular a la rivera, como se indica en la figura. La verdadera velocidad del bote w es el vector suma de la velocidad u que lleva el bote en el agua y la velocidad v del río, esto es w = u + v i j U V W w u v
i j U V W w u v Este ángulo determina la dirección que debe tomar el bote Y esto nos indica que el viaje solo es posible si U > V