TEMA 5: DIFERENCIACIÓN La derivada y su interpretación geométrica y económica La derivada y su interpretación geométrica y económica Propiedades de la derivada Propiedades de la derivada La regla de la cadena La regla de la cadena Teoremas de Rolle y del Valor Medio Teoremas de Rolle y del Valor Medio Regla de l’Hôpital Regla de l’Hôpital Derivadas sucesivas Derivadas sucesivas Polinomio de Taylor Polinomio de Taylor Extremos relativos Extremos relativos Concavidad y Convexidad Concavidad y Convexidad

La derivada y su interpretación geométrica y económica Definición. Dada una función f : D     y un punto a  D, se dice que f es derivable en el punto a si existe En este caso dicho límite se denota por f’(a) y se dice que es la derivada de f en a. La derivada de f en a se puede expresar de distintas formas:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA a+h f(a+h) a f(a) f(x) h f(a+h)-f(a) f’(a)=m= pendiente de la recta tangente a f(x) en P(a,f(a)) es igual a la tg , siendo  el ángulo formado por la recta tangente con el eje OX. y=f(a)+m(x-a)

TASAS DE CAMBIO Y SU INTERPRETACIÓN ECONÓMICA Sea la función y = f(x), y supongamos que x toma los valores a and a+h. Entonces, el cambio en el valor de la función (incremento de f) es  f(a) = f(a+h) – f(a) La tasa de cambio media de f en el intervalo entre a y a+h es La tasa de cambio instantánea de f en a es f’(a) La tasa de cambio proporcional de f en a is f’(a)/f(a). Esta tasa es conocida también como tasa de cambio relativa.

Derivadas f(x)= c, f‘(x)=0;f(x)=x, f’(x)=1f(x)=a.x, f’(x)=a f(x)=x n f’(x)= n.x n-1 f(x)=e x f’(x)= e x f(x)= a x f’(x)=a x.ln a f(x)=log a x f’(x)= (1/x)log a ef(x)= sen x f’(x)=cos xf(x) = cos x f’(x) = -sen x f(x) = tagx f’(x)=1/(cos 2 x) = 1 + tag 2 x f(x) =cotagx f’(x)=-1/(sen 2 x) = -(1+cotag 2 x) f(x)= arccosx f’(x)=-1/(1- x 2 ) 1/2 f(x)=arctg x f’(x)=1/(1+x 2 )f(x)= arcsenx f’(x)=1/(1- x 2 ) 1/2 f(x)=g(u) con u=h(x) f’(x)=g’(u).h’(x)

Algebra de Derivadas Dadas dos funciones f, g:D  derivables en D, se verifica que 1. f+g es derivable en D y (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x) 2. f.g es derivable en D y (f.g)’(x)= f’(x).g(x)+f(x).g’(x) 3. (f/g) es derivable en D, si g(x)  0, x  D y (f/g)’(x)=(f’(x).g(x)-f(x).g’(x))/(g(x) 2 ) 4.  f(x) es derivable en D y (  f(x))’=  f’(x) 5. Regla de la cadena: Si f(x) es derivable en a y g(x) es derivable en f(a), (gof)(x) es derivable en a y se verifica (gof)’(a)=g’(f(a)).f’(a)

Ejemplos de funciones compuestas derivables Si u = u(x) es una función de x, entonces f(x)=uf’(x)=u’; f(x)=a.uf’(x)=a.u’ f(x)=u n f’(x)= n.u n-1 u’ f(x)=e u f’(x)= e u u’;f(x)=a u f’(x)=u’.a u.ln a f(x)=log a uf’(x)= (u’/u)log a e f(x)= sen uf’(x)=u’cos u f(x) = cos uf’(x) = -u’.sen u f(x)= tag uf’(x)= u’(1+tag 2 u)=u’/(cos 2 u) f(x)=arctg u f’(x)=u’/(1+u 2 )

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA Si C(x) es el coste de producir x unidades, C’(x) es el coste marginal (en x) Si R(x) es el ingreso por vender x unidades, R’(x) es el ingreso marginal (en x) Si  (x) es el beneficio por producir (y vender) x unidades,  ’(x) es el beneficio marginal. Enn general en Economía, Marginal = Derivada. La propensión marginal al consumo es la derivada de la función consumo con respecto a la renta. El producto marginal (o productividad) del trabajo es la derivada de la función de produción con respecto al trabajo. A veces se aproxima C’(x)  C(x+1)-C(x) La elasticidad de f con respecto a x es

FUNCIONES MONÓTONAS. CARACTERIZACIÓN Dada una función f: D  derivable en D, se verifica que: 1.f’(x)  0 en D si y solo si f es creciente en D. 2.f’(x)  0 en D si y solo si f es decreciente en D. 3.f’(x) =0 en D si y solo si f es constante en D. 4.f’(x) >0 en D si y solo si f es estrictamente creciente en D. 5.f’(x) <0 en D si y solo si f es estrictamente decreciente en D. Proposición. Dada una función f: D  derivable en a  D, entonces f es continua en a.

Teorema de Rolle Dada una función f: [a,b]   derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica que Si f(a) = f(b), entonces existe un punto interior c, por los menos, en el que f’(c) = 0. Teorema del Valor Medio Dada una función f: [a,b]   derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica que existe un punto c  (a,b) tal que f(b) - f(a) = f’(c).(b-a) Teorema del valor medio generalizado Dadas dos funciones f, g: [a,b]   derivables en (a,b), continuas en los extremos a y b, y tales que no existe ningún punto x del interior del intervalo en el que f’(x) y g’(x) sean ambas infinitas, se verifica que existe algún punto c interior al intervalo donde g’(c)[f(b) - f(a)] = f’(c).[g(b)-g(a)] Si g(x)= x, se obtiene el Teorema anterior

APROXIMACIÓN LINEAL Y DIFERENCIAL Sea una función f(x) derivable en x=a. La tangente a la gráfica en el punto (a,f(a)) tiene por ecuación y=f(a)+f’(a)(x-a) Si aproximamos la gráfica de f por su recta tangente en x=a, estamos haciendo una aproximación lineal en f de modo que f(x)  f(a)+f’(a)(x-a) (x próximo a a) x f(a) f(x)

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Sea una función derivable y=f(x), y denotemos por dx un incremento arbitrario de la variable x. Llamaremos diferencial de f a la expresión f’(x)dx, y la denotamos por dy (or df) df(x)= dy= f’(x)dx ≈f(x+dx)-f(x) Idea intuitiva: Vease la aproximación lineal. Reglas para el cálculo diferencial d(af+bg)=adf+adg d(f.g)=df.g+f.dg….. DERIVACIÓN IMPLICITA Si dos variables x e y están relacionadas por una ecuación, para hallar y’(x): 1- Derivar cada lado de la ecuación c.r.a. x considerando y como función de x 2- Resolver la ecuación resultante respecto a y’.

Derivadas de orden superior Dada una función f: D   derivable en D, se puede considerar la función derivada primera de f f’: D   /x  f’(x) Del mismo modo, si f’ es derivable en D, se denomina derivada segunda a la función f’’=(f’)’ D   / x  (f’(x))’ Sucesivamente, se define la derivada n-ésima de f, si existe, como f (n = (f (n-1) )’ :D   / x  (f (n-1 ( x) )’

INDETERMINACIONES. REGLA DE L’HÔPITAL En el estudio de un límite cuando x tiene a a de un cociente en el que el numerador y el denominador tienden a 0, escribimos Este límite es una Indeterminación del tipo 0/0. (a puede ser sustituido por a +, a -, .) Regla de L’Hôpital (versión simple) Si f y g son diferenciables en a, con g(a)=f(a)=0, y g’(a)  0, then

Teorema: Regla de L’Hôpital (tipo 0/0) Supongamos dos funciones f y g diferenciables en ( ,  ) que contine al punto a, excepto posibiblemente en a, y supongamos que f(x) y g(x) ambas tienden a 0 cuando x tiende a a. Si g’(x)  0 para todo x  a en ( ,  ), y si con L finito, L = + , L=- , entonces Teorema: Regla de L’Hôpital (otros tipos de indeterminaciones) La regla de L’Hôpital se puede extender a otros casos. Por ejemplo: a puede tomar los valores . a puede ser un punto extremo del intervalo ( ,  ). La regla también se verifica cuando la indeterminación es del tipo  / .

FORMULA DE TAYLOR Intuición: Recordar la fórmula de la recta tangente a la función f en un punto a y=f(a)+ f’(a)(x-a) Esta línea esta tan cerca de la función como se quiera si se considera un x suficientemente cercano a a. Formula de Taylor Supongamos f es n+1 veces diferenciable en un intervalo que contiene a (a-h,a+h). Entonces, si x  (a-h,a+h), f(x) puede escribirse como donde R n+1 (x) es el Resto de Taylor, y viene dado por para algún número real c entre x y a.

Esto significa que Cuanto mayor es n, mejor es la aproximación Si a=0, la fórmula de Taylor es conocida como Fórmula de McLaurin

PUNTOS EXTREMOS (OPTIMOS) Sea f: D  una función. Diremos que c  D es un punto máximo global de f  f(x)  f(c) para todo x en D c  D es un punto mínimo global de f  f(c)  f(x) para todo x en D Si el valor de f en c es estrictamente mayor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto máximo global estricto. Si el valor de f en c es estrictamente menor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto mínimo global estricto.

Si el valor de f en c es el mayor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto máximo local. c es un punto máximo local si exite un intervalo ( ,  ) alrededor de c tal que f(x)  f(c) para todo x en ( ,  ) que esté en el dominio D. Si el valor de f en c es el menor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto mínimo local. c es un punto mínimo local si exite un intervalo ( ,  ) alrededor de c tal que f(c)  f(x) para todo x en ( ,  ) que esté en el dominio D..

Teorema Sea f una función diferenciable en un conjunto I y sea c un punto interior de I – es decir, no un punto frontera de I. Una condición necesaria para que x=c sea un punto máximo o mínimo de f en I es que x=c sea un punto estacionario de f, es decir f’(x) = 0 Test para Max/min con la primera derivada. Si f’(x)  0 para c  x, y f’(x)  0 para x  c, entonces x = c es punto máximo de f. Si f’(x)  0 para x  c, y f’(x)  0 para c  x, entonces x = c es un punto mínimo de f.

a f(x) CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Definición Dada una función f: D  , y un punto a  D, Se dice que f es concava en a si y sólo si f(x)  f(a)+f’(a)(x-a) Se dice que f es convexa en a si y sólo si f(x)  f(a)+f’(a)(x-a) Proposición Dada f: D   dos veces diferenciable en D, f’’(x) es la derivada de f’(x). Se verifica que f’’(x)  0 en D  f’ es creciente en D  f es convexa en D f’’(x)  0 en D  f’ es decreciente en D  f es concava en D a f(x)

Representación Gráfica de una Función y=f(x) 1. Dominio de la Función f(x) 2. Cortes con los ejes Corte a OX: se hace y=0, se calculan los correspondientes valores de x Corte a OY: se hace x=0, se calculan los correspondientes valores de f(x) 3. Simetrías Respecto del eje OY: f(x)=f(-x)  x  Dominio Respecto del origen: f(x)=-f(-x)  x  Dominio 4. Periodicidad Funciones trigonométricas, etc Cálculo de y’=f’(x) Valores de x tales que f’(x)=0 Valores de x tales que f’(x)>0 (intervalos de crecimiento) Valores de x tales que f’(x) 0, f’(x-h)<0 entonces en (x, f(x)) mínimo Si f’(x)=0, f’(x+h) 0 entonces en (x,f(x)) máximo

6. Cálculo de y’’=f’’(x) Valores de x tales que f’’(x)>0 (intervalos de convexidad) Valores de x tales que f’’(x)<0 (intervalos de concavidad) Valor de f’’(x) en los puntos hallados en 3.1 f’’(x)>0 mínimos f’’(x)<0 máximos 7. Cálculo del valor de la ordenada en los máximos y los mínimos 8. Cálculo de los x tales f’’(x)=0 Si sig(f’’(x+h))  sig(f’’(x-h)) para 0<h< , hay punto de inflexión 9. Cálculo de f’’’(x) Si f’’’(x)  0 para los valores hallados en (8), hay punto de inflexión 10. Asíntotas Verticales: las rectas x=a tales que lim f(x) =  cuando x  a  Horizontales: y=b, tales que lim f(x)=b cuando x  Oblicuas: y=mx+n tal que m=lim (f(x)/x) cuando x  n=lim (f(x)-mx) cuando x  11. Regiones / GRAFICA