Análisis de Sistemas Lineales “Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace” Ing. Rafael A. Díaz Chacón ASL/RAD/2001

Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace Representación General ASL/RAD/2001 Sistema Lineal e Invariante en Tiempo (LIT) x(t)  L{x(t)}=X(s) En general y(t) =  (x(t)) Al aplicar Transformada de Laplace L, a esta ecuación queda Y(s)= L{  (x(t))} entonces el objetivo es estudiar esa ecuación en el plano s y(t)  L{y(t)}=Y(s)

Definición de Transformada de Laplace ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Propiedades de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Propiedades de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Propiedades de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Algunos pares Transformados de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Métodos de Anti-Transformación de Laplace ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace 1) Integración en el campo complejo. 2) Identificación en una tabla de Transformadas. 2-A) Expansión en Fracciones Parciales. 2-B) Evaluación de Residuos.

Teoremas de Valor Inicial y Valor Final ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace 1) Teorema del Valor Inicial. Si L{x(t)}=X(s) entonces x(0+) = 2) Teorema del Valor Final. Si L{x(t)}=X(s) entonces

Solución de Ecuaciones Diferenciales ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Solución de Ecuaciones Diferenciales ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Solución de Ecuaciones Diferenciales (ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace v R= 1 M  + - C= 0.2  F 5 v

Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace v R= 50  + - C= 25  F v c (0 - ) t=0 + L= 10 mH i(t) Condiciones iniciales v c (0 - ) = 40 v i(0 - ) = 1 A

Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

ASL/RAD/2001 Sistema Lineal e Invariante en Tiempo (LIT) Inicialmente en reposo  (t) h(t) En general, se puede escribir h(t) =  (  (t))  y(t) = x(t) * h(t) Aplicando Transformada de Laplace a esta última ecuación Y(s) = X(s)H(s) Integral de Convolución Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Función de Transferencia ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace “La Función de Transferencia de un sistema es la relación de las Transformadas de Laplace de la salida y la entrada, bajo condiciones iniciales iguales a cero”

Función de Transferencia ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace “El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones importantes acerca del sistema que representa” “El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”

ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)   “El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ ” CEROS: c es un cero de un sistema si H(c)  0 Diagrama de polos y ceros

Diagrama de polos y ceros (ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Diagrama de polos y ceros (ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace Re(s) =  j Imag(s) =  j 

Sistemas de Primer Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace y u (t) h(t)  = 1 “El parámetro  se conoce como constante de tiempo del sistema”

Sistemas de Segundo Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace “El parámetro  se conoce como razón de amortiguamiento y el parámetro  n como frecuencia natural no amortiguada”

Sistemas de Segundo Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Sistemas de Segundo Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace Respuesta impulsiva del sistema de segundo orden  n = 1  = 0.5  = 1.5  = 1

Sistemas de Segundo Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace Respuesta escalón del sistema de segundo orden  n = 1  = 0.2  = 1.7  = 1

ASL/RAD/2001 Consiga la respuesta de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes aplicando Transformada de Laplace ecuación y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p 2 (t-2) y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e -2t u(t) y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t) y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e -2t p 2 (t-2)y’’(t) + 10y’(t)+24y = q 2 (t-2) y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p 2 (t-4) y’’(t) + 8y’(t)+25y = q 2 (t-2) y’’(t) + 8y’(t)+165y = e -2t q 1 (t-1) ecuación Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

ASL/RAD/2001 Consiga la función de transferencia de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes ecuación y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p 2 (t-2) y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e -2t u(t) y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t) y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e -2t p 2 (t-2)y’’(t) + 10y’(t)+24y = q 2 (t-2) y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p 2 (t-4) y’’(t) + 8y’(t)+25y = q 2 (t-2) y’’(t) + 8y’(t)+165y = e -2t q 1 (t-1) ecuación Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace