DERIVADAS

Tasa se variación media Llamamos tasa de variación media de una función f entre a y b con a < b al cociente entre la variación de f(x) y la de x en el intervalo [a, b]. f(b) f(b) – f(a) Ejemplo: f(a) b – a a b

Tasa se variación media. Interpretación geométrica. La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Recta secante (b, f(b))  f(b) – f(a) Así, la pendiente de la recta secante del ejemplo es: (a, f(a))  b – a

Tasa se variación instantánea Si hacemos b = a + h, también podemos expresar la T.V.M. como: Cuando h  0 la Tasa de variación media tiende a la Tasa de variación instantánea:

Tasa se variación instantánea. Interpretación geométrica. Hemos visto que la T.V.M. de f en el intervalo [a, a+h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)). Cuando h0, la recta secante se va aproximando a la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x = a. Recta tangente en x = a Cuando h0 , a+ha

Derivada de una función en un punto Llamamos derivada de la función f en el punto x = a al límite, si existe: Lo representamos por f(a) y decimos que la función f es derivable en x = a. Si hacemos b = a + h, la derivada de una función en un punto también se puede expresar:

EJEMPLOS La derivada de f(x) = 3x – 2 en x = 1 es: La derivada de f(x) = x2 + 1 en x = 2 es:

y – f(a) = f’(a)(x – a) Interpretación geométrica de la derivada La derivada de la función f en el punto x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)) La ecuación punto-pendiente de una recta no vertical de pendiente m que pasa por el punto (x0, y0) es y – y0 = m(x – x0). tangente en (a, f(a)) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es: y – f(a) = f’(a)(x – a)

y – f(a) = f’(a)(x – a) y – 15 = 6(x – 3) y = 6x – 18 + 15 f ’(x) = 2x EJEMPLO Cálculo de la recta tangente en un punto. Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x2 + 6 en x = 3 Solución: La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada en ese punto f ’(x) = 2x Como x = 3, debemos hallar m= f’ (3) y f(3) : x = 3 entonces m =f’ (3) = 2·3 = 6 x = 3 entonces f(3) = (3)2 + 6 = 15 Buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (x =3, y =15) con m = f’ (3) = 6 y – f(a) = f’(a)(x – a) y – 15 = 6(x – 3) y = 6x – 18 + 15 La ecuación de la recta tangente en x = 3 es: y = 6x – 3

Función derivada La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x es la función f (x) cuyo valor para x es El dominio de la función derivada está formado por todos los puntos para los que la función f es derivable. Otras notaciones para la derivada:

Derivadas de las principales funciones. Función Derivada Derivada de una constante f (x) = k f (x) = 0 Derivada de una función potencial f (x) = xn f (x) = n · xn–1 f (x) = sen x f (x) = cos x Derivadas de las funciones trigonométricas f (x) = cos x f (x) = –sen x f (x) = ln x Derivadas de las funciones logarítmicas f (x) = loga x f (x) = ex f (x) = ex Derivada de las funciones exponenciales f (x) = ax f (x) = ax · lna

Reglas de derivación f (x) = c · g (x) f (x) = c · g (x) f (x) = 4x3 Derivada de una constante por una función f (x) = c · g (x) f (x) = c · g (x) EJEMPLOS f (x) = 4x3 f (x) = 4·3x2 = 12x2 f (x) = 2cos x f (x) = –2sen x Derivada de la suma (resta) f (x) = g (x)  h (x) f (x) = g (x)  h (x) EJEMPLOS f (x) = x3 + ex f (x) = 3x2 + ex f (x) = x – sen x f (x) = 1 – cos x EJEMPLO Derivada de un polinomio. f (x) = x4 + 2x3 – 5x2 + 4x – 7 f (x) = 4x3 + 6x2 – 5x + 4

F (x) = f (x)·g (x) + f (x)·g(x) Regla del Producto F (x) = f (x)·g (x) F (x) = f (x)·g (x) + f (x)·g(x) Halla la derivada de F(x) = 5x2 (x3 + 2) EJEMPLO F(x) es el producto de dos funciones: F(x) = 5x2 ·(x3 + 2) f (x) = 5x2 f (x) = 10x g (x) = x3 + 2 g (x) = 3x2 F (x) = 10x ·(x3 + 2) + 5x2 · 3x2 = 10x4 + 20x + 15x4 = 25x4 + 20x

f (x) = 3x f (x) = 3 g (x) = 2x + 5 g (x) = 2 3·(2x + 5) – 3x ·2 Regla del Cociente Halla la derivada de EJEMPLO F(x) es el cociente de dos funciones: f (x) = 3x f (x) = 3 g (x) = 2x + 5 g (x) = 2 3·(2x + 5) – 3x ·2 (2x + 5)2 F’(x) = 15 (2x + 5)2 =

Regla de la cadena (Derivada de la función compuesta) F (x) = (f  g) (x) = f (g(x)) F (x) = f (g (x))·g(x) EJEMPLO F (x) = sen(2x) La función F(x) = sen(2x) es la composición de dos funciones: f (x) = sen(x) g (x) = 2x Sus derivadas son: f (x) = cos(x) g (x) = 2 Aplicando la regla de la cadena: F (x) = cos(2x)·2 = 2 cos(2x) Derivada del seno Derivada de 2x

F (x) = (g(x))3 F (x) = 3(g(x))2·g (x) F (x) = 3(2x2 – x)2·(4x – 1) Ejemplo: Regla de la cadena EJEMPLO F (x) = (2x2 – x)3 La función F(x) = (2x2 – x)3 es la composición de dos funciones: f (x) = (x)3 g (x) = 2x2 – x Sus derivadas son: f (x) = 3(x)2 g (x) = 4x – 1 Aplicando la regla de la cadena: F (x) = (g(x))3 F (x) = 3(g(x))2·g (x) F (x) = 3(2x2 – x)2·(4x – 1)

Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones. b) c) d) e) f)

Derivada de la exponencial Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones. g) Es un producto de dos funciones: h) Es un cociente de dos funciones: i) Es una composición de dos funciones: Derivada de la exponencial Derivada de 3x2

f (x) = 1·sen(5x) + (x + 1)·cos(5x)·5 Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones. j) f(x) = (x + 1)·sen(5x) Es un producto de funciones donde la segunda función es una composición de funciones: g(x) = (x + 1) h(x) = sen(5x) Sus derivadas son: g (x) = 1 h (x) = cos(5x)·5 f (x) = 1·sen(5x) + (x + 1)·cos(5x)·5 k) Es un cociente de funciones donde el denominador es una composición de funciones: g(x) = x + 1 h(x) = (2x3 + 1)2 Sus derivadas son: g (x) = 1 h (x) = 2(2x3 + 1)·6x2

Derivadas de orden superior f es también una función. En los puntos de su dominio en los que sea derivable, podemos obtener su derivada, que se llama derivada segunda, f. Análogamente podremos obtener la derivada tercera, f , la derivada cuarta, f (4) , ...... .

f (x) = sen x f (x) = x3 – 3x2 + 5x – 7 f (x) = cos x Ejemplos. Derivadas de orden superior. EJEMPLO EJEMPLO f (x) = sen x f (x) = x3 – 3x2 + 5x – 7 f (x) = cos x f (x) = 3x2 – 6x + 5 f’’ (x) = – sen x f’’(x) = 6x – 6 f’’’ (x) = – cos x f’’’(x) = 6 f (4) (x) = sen x f (4) (x) = 0 f (5) (x) = cos x