Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS (MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS)

Introducción Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden: primeramente se debe escribir la ecuación en la forma estándar Esta última ecuación es la análoga de segundo orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden

Suposiciones Al resolver una EDLNH de primer orden, se supuso que yp=u(x)y1(x). Supondremos ahora que la forma de la solución para la ecuación de orden 2 es yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x). Al utilizar la regla del producto para diferenciar dos veces yp se obtiene: yp´= u1y1´+y1u1´+u2y2´+y2u2´ yp´´= u1y1´´+y1´u1´+y1u1´´+u1´y1´+u2y2´´+y2´u2´+y2u2´´+ u2´y2´

Suposiciones… Al sustituir yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) y sus derivadas en la ecuación tenemos: De donde:

Suposiciones… Como se busca determinar dos funciones desconocidas u1 y u2, es necesario tener dos ecuaciones. Estas dos ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que u1 y u2 satisfacen: Con ello la ecuación Se reduce a:

Suposiciones… Ahora se cuenta con las dos ecuaciones deseadas Por la regla de Cramer la solución del sistema de ecuaciones puede expresarse en términos de determinantes:

Suposiciones… Finalmente se encuentran u1 y u2 integrando los resultados anteriores. Con ello:

Resumen del método Para resolver la EDLNH en forma estándar: y´´ + P(X)y´ + Q(x)y = f(x) Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH original, para determinar la solución homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x). Se supone que la solución particular de la EDLNH se puede obtener a partir de la solución de la EDLH variando los parámetros, esto es: suponiendo que yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).

Resumen del método… Sustituyendo esta última ecuación en la EDLNH original, con el propósito de obtener las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), obtenemos después de arreglar términos, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Resolviendo este sistema de ecuaciones simultaneas por la Regla de Cramer

Resumen del método… Integramos estas dos ecuaciones para obtener u1(x) y u2(x). Sustituimos estas dos funciones en la solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x). Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

Ejemplo Resuelva 4y´´+36y=Csc(3x) La forma estándar de la EDLNH es: y´´-9y=(1/4)Csc(3x) La ecuación auxiliar m2+9 tiene raíces conjunadas m1=3i y m2=-3i, por ello: yh=c1Cos(3x)+c2Sen(3x). Con y1=Cos(3x), y2=Sen(3x) y f(x)=(1/4) Csc(3x) se obtiene:

Ejemplo… A partir de esto:

Ejemplo… Integrando: Con esto: Y finalmente, como:

Generalización del método Para resolver la EDLNH en forma estándar: y(n)+Pn-1(X)y(n-1)+ P1(x)y´+P0(x)y= f(x) Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH original, para determinar la solución homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x)+ …+ cnyn(x) Se supone que la solución particular de la EDLNH se puede obtener a partir de la solución de la EDLH variando los parámetros, esto es: suponiendo que yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ … +un(x)yn(x)

Generalización del método… Sustituyendo esta última ecuación en la EDLNH original, con el propósito de obtener las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), ... un(x),, obtenemos después de arreglar términos, el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

Generalización del método… Resolviendo este sistema de ecuaciones simultaneas por la Regla de Cramer

Generalización del método… Integramos estas las ecuaciones para obtener u1(x) y u2(x), …, un(x). Sustituimos estas n funciones en la solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ un(x)yn(x). Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

Problemas Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: