Computational Modeling for Engineering MECN 6040 Professor: Dr. Omar E. Meza Castillo omeza@bayamon.inter.edu http://facultad.bayamon.inter.edu/omeza Department of Mechanical Engineering

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes donde ai son constantes, an  0. Ecuación o polinomio auxiliar : Para n = 2, Si probamos y(x) = emx, obtenemos la ecuación auxiliar.

Las dos raíces del polinomio auxiliar son: (1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas, m1  m2 (2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a) (3) b2 – 4ac < 0: complejas conjugadas,

Caso 1: Raíces reales y distintas La solución general es Caso 2: Raíces reales repetidas

Caso 3: Raíces complejas conjugadas Escribimos Caso 3: Raíces complejas conjugadas Escribimos , una solución general es Usando la fórmula de Euler:

Como es solución general, tomando C1=C2=1 y C1 =1, C2 =-1 Tenemos dos soluciones: Así, ex cos x y ex sen x son un conjunto fundamental de soluciones y la solución general es:

Resolver las EDs siguientes: (c)

Resolver Solución:

Resolver las ecuaciones: Para la primera ecuación : Para la segunda ecuación : Como Luego

Separación de VARIABLES SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES MÉTODO ANALÍTICO

Separación DE Variables Asumiendo que u=X(x)Y(y), entonces

Determine las soluciones producto de: Solución Sea u=X(x)Y(y) y entonces Introducimos una constante de separación real como 2.

Tenemos tres casos: Caso I: 2 > 0 X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0

Caso II: -2 < 0 X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0

Caso III: 2 =0 X” = 0, Y’ = 0

Ecuación de Calor La ecuación de calor puede describirse así: (1) (2) (3)

Ecuación de Calor f(x) T x Distribución de temperatura a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera u=0 u=0 L

Ecuación de Calor Usando u(x,t) = X(x)T(t), y −2 como la constante de separación: (4) (5)

Ecuación de Calor Resolviendo: (6) (7) Condiciones de Frontera

Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se aplican a (4), estas soluciones son sólo X(x) = 0. Aplicando la primera condición a (6) se obtiene c1=0. Por tanto X(x)=c2sinx. La condición X(L) = 0 implica que X(L)=c2sinL=0. Tenemos que sinL=0 para c2  0 y =n/L, donde n=1, 2, 3, … y las soluciones correspondientes

La solución general de (7) es y por tanto (10) donde An = c2c3.

Ahora usando las condiciones iniciales u(x,0)=f(x), 0 < x < L, tenemos (11) Por el principio de superposición, la función (12) Debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t=0, entonces

Se conoce como un desarrollo de semi-intervalo para f en una serie seno. Si ponemos An = bn, n= 1, 2, 3, … entonces: Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie infinita

En el caso especial, donde u(x,0)=100, L = , y k = 1, entonces De modo que la solución es:

Mathcad

Otro caso La ecuación de calor puede describirse así: (1) (2) (3)

En el caso especial, donde L = , y k = 1, entonces De modo que la solución es:

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Ecuación de LAPLACE Considere el siguiente problema de valores en la frontera: (1) (2) (3)

T2 L T1 T1 W

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