Funciones y Relaciones Gonzalo Maureira León. Profesor de Matemáticas y Licenciado en Educación.

Relación Se habla de relación entre elementos de dos conjuntos diversos, cuando se cumple un cierto enunciado o condición. Toda relación debe tener dos conjuntos (el de partida y el de llegada, ejemplo: R relación entre A y B. R : ser menor o igual que.

Relación UNO PARA TODOS.

Función Una Función es una relación que se establece entre un conjunto A y un conjunto B, y se escribe: “f es una función de A en B” Es decir, para cada elemento de A existe un único elemento en B.

Función Elementos de una Función. Toda función debe tener un conjunto de partida A (Dominio de la función) y un conjunto de llegada B (Codominio de la función). Todo elemento perteneciente al Dominio de la función se denomina pre-imagen, mientras que los elementos que pertenecen al Codominio de la función se denominan imágenes. Al conjunto que contiene a todas las imágenes se le denomina Recorrido de B.

Función Determina el Dominio, Recorrido, Codominio, imágenes y pre-imágenes de la siguiente función f.

Función En los siguientes ejercicios determina cuál es una función y una relación según corresponda.

Tipos de Funciones. Formalización: Las funciones de la forma y = mx se llaman funciones lineales y al graficarlas se obtienen rectas que pasan por el origen. Las funciones de la forma y = mx + b con , se llaman funciones afines, y al graficarlas se obtienen rectas que no pasan por el origen. El valor de b determina el punto de corte con el eje y.  

Ejercitación: Grafica las siguientes funciones lineales sabiendo que su dominio y recorrido son todos los números reales. 3x – y = 0 y = 4x y + 2x = 0 y = -3x

Gráfico de Funciones. Ejemplo A cada función corresponde la relación , es decir, En otras palabras, la pre-imagen de la función corresponde a la primera coordenada de un par ordenado (x, y), y la imagen corresponde a la segunda coordenada del mismo par. Ejemplo Sea la función f: A B, entonces, evaluando para distintas pre-imágenes (valores de x) tomadas arbitrariamente tenemos: X Y -2 -1 1 2 3 4

Resuelve. En el gráfico de la figura 1 muestra un crecimiento de cierta planta en función del tiempo, en donde h es la altura de la planta y t es el tiempo. Se ha dividido en tres fases A, B y C. Sobre la base de esta información, se afirma que: En la fase A no hay crecimiento. En la fase B el crecimiento es más rápido que en las otras fases. En la fase C hay crecimiento, pero cada vez más lento. De éstas afirmaciones, es(son) correcta(s): Sólo II Sólo III Sólo II y III Sólo I y III Sólo I y II

Resuelve. En la figura 2, se tiene la gráfica de una función. Entonces: I: f(6) – f(4) = -2 II: f(4) + f(6) =1 III: f(f(0))=3 De éstas afirmaciones, es(son) correcta(s): Sólo I Sólo III Sólo II y III Sólo I y III Sólo I y II

Función Lineal. Su dominio corresponde a los números reales y su gráfica corresponde a una recta. Formas de Función Lineal. Ecuación general: Ecuación principal:

Función Lineal. Expresar la función 2y - 6x = -30, en su forma general y principal.

Ecuación de la Recta. Consideremos la forma principal de la función lineal, . Al coeficiente m se le denomina pendiente de la recta y se relaciona con la inclinación de la misma.

Ecuación de la Recta. Pendiente: Sean los puntos P (1, -3) y A (3, 7), entonces la pendiente de la recta es: Si la pendiente es cero, entonces tenemos una pendiente horizontal.

y = -5x + 20 y = x Pendiente de una Recta Determine las ecuaciones generales y principales de las siguientes rectas, indicando el punto de corte según corresponda. y = 3x - 114 y = -5x + 20 y = x -4x + 3y – 1 = 0 x + 6y + 1 = 0

L1 //L2 entonces m1 = m2 Rectas Paralelas Para que dos rectas sean paralelas se debe cumplir que : L1 //L2 entonces m1 = m2 Determine la ecuación de la recta que es paralela a la recta y = -x + 1 y pasa por el punto (2,6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1 , -3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1 , 5) y (6 , -1).

L1 L2 entonces m1 * m2 = -1 Rectas Perpendiculares. Para que dos rectas sean perpendiculares se debe cumplir que : L1 L2 entonces m1 * m2 = -1 Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta y = 3+ 6 y que pasa por el punto (2 , 4). Determine la ecuación de la recta que pasa por (2,5) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (4,-8) y (-3,-4).

Ejercicios PSU