La División Sintética Menú: Definición. División de polinomios en forma tradicional Ejercicio 5.1. La división tradicional. La división sintética. Ejercicio 5.2. De división sintética. Ejercicio 5.3. De polinomios de mayor grado. Ejercicio 5.4. De polinomios con unidades faltantes. Manuel Pontigo A. ISBN 978-9968-9634-2-8 Instituto Tecnológico de Costa Rica

La División Sintética. Definición 2 La División Sintética. Definición La división sintética es un método que simplifica las divisiones de polinomios muy largos. CARACTERÍSTICAS: Se emplea especialmente, cuando el numerador del polinomio es muy largo. Sólo puede usarse con un divisor de la forma (x − n). Las formas 3x − n es conveniente transformarlas a la forma: Para después realizar la división sintética. Esto implica que el coeficiente que multiplica a x (Cx – n), sea igual a ___. Estos es _____. R: C = 1; 1;

La división de polinomios en la forma usual. 3 La división de polinomios en la forma usual. La División Sintética con un divisor de la forma: Pasos: La potencia de x siempre es un grado menor. El primer cociente es x2 ÷ x = x. Multiplicar x por el divisor y por -1. Restar del los dos primeros componentes del dividendo. Bajar el siguiente componente del dividendo Repetir el proceso. Resultado: _____, con residuo ____. Respuesta: x + 6, con residuo 0.

Comprobación de resultado. 4 Comprobación de resultado. La comprobación es simple: multiplique el cociente por el divisor y deberá obtener el dividendo. Solución: El resultado es correcto: (x – 9)(x – 6) = x2 – 3x – 54 R: (x – 9)(x – 6) = x2 – 3x – 54

5.4 Ejercicio 5.1 de división sintética.. Elija cualquier ecuación y resuelva: Elija cualquier ecuación y resuelva: con esta se ejemplifica: Su Ecuación Comprobando: Simplificando el divisor por tanto: Ecuación Sustituya Por la Ecuación Correspondiente A su ejemplo. Sustituya por su cuadro Sustituya Por la Ecuación Correspondiente A su ejemplo. Sustituya por su cuadro R: (Ec. 1: x+2; r = 162); (Ec. 2: x+6; r=108)(Ec. 3: x-12; r = 54); (Ec. 4:x-6; r=108)

6 La División Sintética. Aprovechando la circunstancia que la potencia del producto siempre es un grado menor al polinomio y que el valor de x siempre se lleva al neutro multiplicativo 1, se puede omitir en los cálculos. Pasos: Reduzca la parte del divisor a n multiplicada por -1. Baje la primera componente del polinomio al producto (x = 1) Multiplique esta componente por el divisor (9) y coloque el resultado bajo la segunda componente del polinomio (1 × 9) = 9. Sume esta componente al polinomio (-3 + 9) = 6 colocándolo en el producto. Multiplique este valor por el divisor y colóquelo bajo la tercera componente del polinomio (6 × 9) = 54. Sume este elemento al tercer componente del polinomio (-54 + 54) = 0 ó residuo. El resultado será x + 6 con residuo 0.

Ejercicio 5.2 De división sintética 7 Ejercicio 5.2 De división sintética Elija cualquier ecuación y resuelva: Ecuación 1: Sustituya por su cuadro Ecuación 2: Sustituya por su cuadro Ecuación 3: Sustituya por su cuadro Ecuación 4: Sustituya por su cuadro Adicional del ejercicio 1. Sustituya por su cuadro Sustituya por su cuadro Sus. Ecuación

División de polinomios de mayor grado. 8 División de polinomios de mayor grado. Operación: División tradicional: División sintética: Comprobación Solución:

Ejercicio 5.2 De división sintética 9 Ejercicio 5.2 De división sintética Resuelva y compruebe: Su Ecuación Sustituya por su cuadro Sustituya por su cuadro Resuelva y compruebe: Su Ecuación Divídase por 2: Su Ecuación Sustituya por su cuadro Ejercicio: Resuelva las ecuación que se le generan en la HE.

División de polinomios con potencias faltantes.. 10 División de polinomios con potencias faltantes.. Cuando algún divisor no muestre todos los componentes del polinomio los sitios de las potencias faltantes deberán considerarse con coeficiente 0. Ej: (x4 + 16) ÷ (x + 2). División tradicional: División Sintética: Comprobación Solución:

Ejercicio 5.3 De división sintética 11 Ejercicio 5.3 De división sintética Resuelva la división y compruebe Su Ecuación Primero se divide por 2 y se agrega 0 en la potencia faltante: Su Ecuación Sustituya por su cuadro Sustituya por su cuadro Resultado: Refiera su resultado Ejercicio: Resuelva la ecuación que se le genera en la HE.

Reducción de Divisor Resolver de la manera usual la división: 12 Reducción de Divisor Resolver de la manera usual la división: Comprobar el resultado:

Reducción de Divisor para aplicar división sintética. 13 Reducción de Divisor para aplicar división sintética. Resolver de la manera usual la división: Recuerde que en la división sintética el numerador debe ser de la forma x ± k, por tanto, el divisor anterior debe reducirse. Entonces, dividendo ambas ecuaciones por 3 se obtiene el resultado necesario. División sintética Comprobación:

Un ejemplo más de reducción sintética. 14 Un ejemplo más de reducción sintética. Resolver: Solución: Dividir por 2 dividendo y divisor: Aplicar la división sintética: Comprobación: Respuesta:

Un ejemplo más de reducción usando división usual. 15 Un ejemplo más de reducción usando división usual. Resolver: Resultado: El resultado del producto es el mismo. Por tanto, no hay necesidad de probar el resultado:

16 RESUMEN. Se ha recordado el proceso de división de polinomios en las modalidades de una división usual y la alternativa como división sintética. La limitación para ambas divisiones ocurre cuando tienen que dividirse polinomios que no tienen representadas todas las ponencias intermedias. Para poder dividirlos tiene que completarse el polinomio en las potencias faltantes agregando un coeficiente con valor cero. La división sintética es obligadamente de la forma x ± n en donde el coeficiente asociado a la x es el neutro multiplicativo, o sea igual a 1. Cuando el divisor es de la forma cx ± n no, deberá de multiplicarse por 1/c (o dividirse por c) las ecuaciones involucradas en divisor y el dividendo de modo que el divisor quede de la forma x ± k en donde k = n / c. Los ejercicios mediante la HE en esta sección se aplican a casos concretos de división tradicional y división sintética. El interesante que el estudiante analice el algoritmo para esta en la Hoja Electrónica.