Matrices Conceptos generales Una matriz es una tabla bidimensional de números, N, dispuestos en n filas y m columnas, tal que n × m = N. A los datos se les denomina elementos o entradas de la matriz. A m y n se les denomina dimensiones de la matriz; primero se da el valor de m y después el de n. Comúnmente se dice que una matriz es de orden de m × n (tamaño). Dos matrices son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Matrices Conceptos generales Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Casi siempre, se utilizan letras mayúsculas para denotar a las matrices y para denotar a los elementos se utilizan sus correspondientes letras minúsculas. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, es común que sea negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. De esta manera, A es una matriz y A es un escalar. Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Matrices Conceptos generales En la matriz A de orden 4x3, el elemento a2,3 es el 7. La matriz R de orden 1x9 es un vector fila con 9 elementos.

Tipos de Matrices Matriz Cuadrada: el número de filas es igual al de columnas (n = m). Vector fila: n = 1. A = [a1, a2, a3] Vector columna: m = 1. Matriz diagonal: Matriz cuadrada donde todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros. Matriz nula (0): Matriz donde todos los elementos son ceros. Matriz escalar (S): Matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales. Matriz unidad (I) ó identidad: Matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1.

Tipos de Matrices Matriz transpuesta: Dada una matriz, la matriz transpuesta se forma al disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como columna 2, ... y la fila n como columna n. La traspuesta de la matriz A se designa por tA (a veces se utiliza At o A'). Matriz triangular: Matriz cuadrada en la que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0 siempre que i < j. Se conocen como (superior o inferior, según el caso). Matriz regular: Matriz que tiene inversa. Matriz singular: Matriz que no tiene inversa. Matriz simétrica: Matriz que es igual a su traspuesta. Matriz antisimétrica: Matriz cuya traspuesta es igual a -A.

Suma de matrices Propiedades de la suma Dadas las matrices mxn, A y B; A + B es la matriz mxn calculada al sumar los elementos correspondientes. Sólo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. Propiedades de la suma A + B = B + A b) (U + V) + W = U + (V + W) c) A + 0 = A d) A + (-A) = 0 (A + B)T = AT + BT

Multiplicación de una matriz por un escalar Dada una matriz A de m filas y n columnas: La multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está definida como: La cual corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar.

Multiplicación de una matriz por un escalar Propiedades de la multiplicación por un escalar c(A+B) = cA + cB (c + k)A = cA + kA c(kA) = (ck)A 1(A) = A -1(A) = -A (A + B)T = AT + BT (cA)T = cAT

Multiplicación de matrices Dadas las matrices A y B; tales que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B

Multiplicación de matrices Propiedades de la multiplicación AB  BA en general AB = 0 no implica que A o B sean 0 (kA)B = k(AB) = A(kB) A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC (AB)T = BTAT

Multiplicación de matrices

Multiplicación de matrices

Determinantes Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz.

Propiedades de los Determinantes Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|. Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.

Propiedades de los Determinantes Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los números de la diagonal. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes |A.B| = |A|.|B| El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante. |A-1| = 1 / |A|

Cálculo de determinantes Matrices de orden inferior Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar o como una matriz cuadrada de orden uno: El valor del determinante es igual al único termino de la matriz: Los determinantes de una matriz de orden 2: Se calculan con la siguiente fórmula:

Cálculo de determinantes Regla de Sarrus Es un método para calcular el determinante de una matriz 3×3. Repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). + - Funciona con matrices 2×2, pero no se puede aplicar a matrices mayores que 3x3.

Menor complementario Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor complementario del elemento aij, y se representa aij , al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j. El menor complementario del elemento a23 será a23. El menor complementario del elemento a22 será a22.

Adjunto de un elemento Es el menor complemantario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna y se representa por Aij. Se le atribuye el signo (+) si i+j es par o el signo (–) si i+j es impar. El adjunto del elemento a23 será A23 y el adjunto del elemento a22 será A22

Cálculo del menor complementario y adjunto de un elemento El menor complementario del elemento a23 en la matriz : El adjunto del elemento a23 en la matriz :

Cálculo de determinantes Método de Kronecker El determinante de una matriz de cualquier orden es la suma de los productos de los adjuntos de cualquier fila o columna.

Determinantes Teorema de Laplace Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila: Desarrollando los determinantes 2x2, tendremos: Eliminando los paréntesis, tenemos: Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus:

Aplicación del Teorema de Laplace Determinantes Aplicación del Teorema de Laplace Producto Vectorial

Determinantes Regla de Cramer Se aplica a sistemas de ecuaciones lineales que cumplan dos condiciones: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Determinantes Regla de Cramer Y sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente. Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Aplicación de determinantes Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Dado el sistema de ecuaciones: Que representadas en forma de matriz es: x y y pueden ser determinadas por la Regla de Cramer como sigue:

Aplicación de determinantes

Aplicación de determinantes Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar: Que representadas en forma de matriz es: x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

Aplicación de determinantes

Aplicación de determinantes

Propiedades de la matriz inversa

Aplicación de determinantes