Apuntes de Matemáticas 3º ESO Tema 5 * 3º ESO Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Tema 5.3 * 3º ESO PROPIEDADES DE LAS RAÍCES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FACTORIZACIÓN Un trinomio de 2º grado, a.x2 + b.x + c, con las raíces x1 y x2 se puede descomponer siempre de la siguiente manera: a.x2 + b.x + c = a.(x – x1).(x – x2) Es decir, hemos factorizado la expresión, hemos convertido las sumas en productos. Ejemplos: x2 – 3.x + 2 tiene como raíces x = 1 y x = 2 Podemos poner: x2 + 3.x + 2 = (x – 1 ).(x – 2 ) 2.x2 – 10.x + 12 tiene como raíces x = 2 y x = 3 Podemos poner: 2.x2 – 10.x + 12 = 2.(x – 2 ).(x – 3 ) x2 – 5.x – 14 tiene como raíces x = – 2 y x = 7 Podemos poner: x2 – 5.x – 14 = (x + 2 ).(x – 7 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Más EJEMPLOS: x2 + 2.x + 3 no tiene raíces reales No se puede factorizar x2 + 2.x + 1 tiene las dos raíces iguales x=-1, x=-1 Podemos poner x2 + 2.x + 1 = (x + 1).(x + 1) 3.x2 + 5.x – 8 tiene como raíces x=1 y x=- 8/3 Podemos poner: 3.x2 + 5.x – 8 = 3.(x – 1 ).(x + 8/3) 5.x2 – 7.x – 34 tiene como raíces x=-2 y x= 17/5 Podemos poner: 5.x2 – 7.x – 34 = 5.(x + 2 ).(x – 17/5) Importante: Hay que darse cuenta de que cuando el valor de la raíz es negativo, el factor es de la forma (x + …), en lugar de (x – …) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre: ‑ b x + x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------- + ---------------------------------- = 1 2 2.a 2.a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) - 2.b - b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------- = ------- = ----- 2.a 2.a a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre: c x . x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------- . --------------------------------= 1 2 2.a 2.a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) 2 b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) 4.a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = -------- = ----- 4.a 2 4.a 2 4.a 2 a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Comprobar las propiedades de las raíces en las siguientes ecuaciones cuadráticas Ejemplo 1 x2 + 2.x + 1 = 0 a=1, b=2, c=1 Tiene las dos raíces iguales x1 = - 1 , x2 = - 1 Propiedades: x1 + x2 = - b / a  – 1 – 1 = – 2 / 1  – 2 = – 2 x1 . x2 = c / a  (– 1).(– 1) = 1 / 1  1 = 1 Ejemplo 2 3.x2 + 5.x – 8 = 0 a=3, b= 5, c = – 8 Tiene como raíces x = 1 y x = - 8/3 x1 + x2 = - b / a  1 +(– 8/3) = – 5 / 3  – 5/3 = – 5/3 x1 . x2 = c / a  1.(– 8/3) = – 8 / 3  – 8/3 = – 8/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ecuaciones cuadráticas Tema 5.4 * 3º ESO PROBLEMAS Ecuaciones cuadráticas @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Resolución de PROBLEMAS Para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas hay que seguir los siguientes pasos, que son los mismos que para resolver problemas de ecuaciones lineales: 1.- COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado. 2.- DESIGNAR.- Designar una letra a la incógnita. La incógnita no es siempre el dato que se pide, sino el dato desconocido que permita resolver el problema. 3.- PLANTEAR.- Una vez designada la incógnita, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando una o varias ecuaciones. 4.- RESOLUCIÓN.- Se despeja la incógnita de la ecuación, se halla su valor y luego el valor de los datos pedidos. 5.- COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple condiciones del enunciado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Enunciados y ecuaciones “El cuadrado de la mitad de un número, más cinco, es igual a 9. Hallar dicho número.” La coma antes del “más” rompe el término en dos sumandos. Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 9 Operando: (x2 / 4) + 5 = 9  x2 / 4 = 9 – 5  x2 = 16 Luego: x1 = 4 y x2 = – 4 ENUNCIADO 2 “El cuadrado de la mitad de la suma de un número más cinco es 16. Si x es el número: [(x + 5) / 2]2 = 16 Operando: (x + 5)2 / 4 = 16  (x + 5)2 = 64  x2 + 10.x + 25 = 64 x2 + 10.x – 39 = 0  Resolviendo la ecuación: x1 = 3 y x2 = – 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Enunciados y ecuaciones “La suma del cuadrado de la mitad de un número más cinco es 14.” Hallar dicho número.” Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 14 Operando: (x2 / 4) + 5 = 14  x2 / 4 = 14 – 5  x2 = 36 Luego: x1 = 6 y x2 = – 6 ENUNCIADO 4 “La suma de la mitad del cuadrado de un número más cinco es 19/2.” Si x es el número: [ x2 / 2 ] + 5 = 19 / 2 Operando: x2 / 2 = (19 / 2) – 5  x2 = 19 – 10  x2 = 9 Luego: x1 = 3 y x2 = – 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Enunciados y ecuaciones “El cuadrado de la diferencia de un número y de cinco es 16. Hallar dicho número.” Si x es el número: (x – 5)2 = 16 También valdría, en este caso: (5 – x)2 = 16 Operando: x2 – 10.x + 25 = 16  x2 – 10.x + 9 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 1 y x2 = 9 ENUNCIADO 6 “El cuadrado de la suma del doble de un número y de tres es 49. Si x es el número: (2.x + 3)2 = 49 Operando: 4.x2 + 12.x + 9 = 49  4.x2 + 12.x – 40 = 0 Simplificando entre 4 queda: x2 + 3.x – 10 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 2 y x2 = – 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO_7 El cuadrado de la edad que tenía hace cinco años es la mitad de la edad que tendré dentro de 7 años. ¿Qué edad tengo?. Sea x = la edad actual que tengo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años: Ahora: Dentro de 7 años: x – 5 x x + 5 Luego: (x – 5)2 = ( x + 5 ) / 2 Operando: x2 – 10.x + 25 = ( x + 5 ) / 2 2.x2 – 20.x + 50 = x + 5  2.x2 – 21.x + 45 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 7,5 años y x2 = 3 años Discusión: Ambas soluciones son matemáticamente correctas. La primera solución, x = 7,5 presenta el problema de una edad con decimales, que no suele ser admisible. La segunda solución, x=3, es imposible por la naturaleza del enunciado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_8 Quiero hacer el marco de un portarretratos rectangular, de modo que el largo sea 14 dm mayor que el ancho y que la diagonal del marco mida 26 dm. ¿Qué dimensiones debe tener?. Sea x = ancho del marco. Sea (x + 14) el largo del marco. La diagonal del marco es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el largo y el ancho. Debo pues aplicar el Teorema de Pitágoras: “La hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos.” Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: 262 = x2 + (x + 14)2 Operando: 676 = x2 + x2 + 28.x + 196  0 = 2.x2 + 28.x – 480 Simplificando la ecuación: x2 + 14.x – 240 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 10 dm y x2 = – 24 dm Discusión: La segunda medida, en geometría, no es admisible por negativa. El ancho es 10 dm y el largo 24 dm. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_9 El valor numérico del área de un cuadrado es igual que el de su perímetro. Hallar el lado del cuadrado. Sea x = lado del cuadrado. Sea x2 = área del cuadrado. Sea 4.x = perímetro cuadrado. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: x2 = 4.x Operando: x2 – 4.x = 0  x.(x – 4) = 0 Las soluciones son: x1 = 0 u y x2 = 4 u Discusión: La primera medida, x = 0, no es admisible por anular el cuadrado. El área es de16 u2 y el perímetro de 16 u. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_10 La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual que el cuadrado de su suma. Hallarlos. Sea x = un número entero. Sea x + 1 = el número entero consecutivo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: La suma de los cuadrados: x2 + (x + 1)2 El cuadrado de la suma: [ x + (x + 1) ]2 x2 + (x + 1)2 = [ x + (x + 1) ]2 Operando: x2 + x2 + 2.x + 1 = (2.x + 1)2 2.x2 + 2.x + 1 = 4.x2 + 4.x + 1 0 = 2.x2 + 2.x Resolviendo la ecuación incompleta: 2.x.(x + 1) = 0 Las soluciones son: x1 = 0 y x2 = – 1 Un número es x = – 1 y su consecutivo es x = – 1 + 1 = 0 Comprobamos: (-1)2 + (-1 + 1)2 = [ - 1 + (- 1 + 1) ]2 1 + 0 = (- 1 + 0)2  1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Acertijo ”+2” Piensa un número. (Cada alumno pensará un número y lo anotará) (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). Súmale 3 unidades. El resultado lo elevas al cuadrado. Al nuevo resultado le restas 9 unidades. Al nuevo resultado le divides por el número que pensaste. Al nuevo resultado le quitas 8 unidades. ¿Qué te ha dado la última operación?. (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) Solución: ¿A que el último resultado obtenido + 2 es el número que pensaste?. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO