Funciones recursivas Roberto Moriyón

Ejemplo: Función de Ackerman F(i,x) = (i=0) ? x+1 : ((x=0) ? F(i-1,1) : F(i-1,F(i,x-1))) Ejemplos: F(0,x) = x+1 F(1,1) = F(0,F(1,0)) = F(0,F(0,0)) = F(0,1) = 2 F(1,2) = F(0,F(1,1)) = F(0,2) = 3 F(1,x) = F(0,F(1,x-1)) = … = F(0,x) = x+1 F(2,1) = F(1,F(2,0)) = F(1,F(1,1)) = F(1,2) = 3 F(2,x) = F(1,F(2,x-1)) = … = F(1,2x-1) = 2x+1 …

Definiciones recursivas primitivas Ejemplo con un argumento: F(x+1) = 2*F(x) F(x+1) = g(F(x)) F(0) = 1 F(0) = h Definición general: F(x1+1, x2, …, xn) = g(F(x1, x2, …, xn), x1, x2, …, xn) F(0, x2, …, xn) = h(x2, …, xn) Ejemplos: La definición de Ackerman no lo es F(x+1,y) = F(x, y)+2 F(0,y) = y+2

Funciones recursivas primitivas: Funciones básicas Las funciones recursivas básicas numéricas son: Sucesor: s(x) = x+1 Anulación: n(x) = (x=0) ? 1 : 0 Proyecciones: uin(x1, …, xn) = xi

Funciones recursivas primitivas Se pueden definir a partir de las básicas mediante recursión primitiva y composición Ejemplos: F(x) = s(s(x)) G(x+1, y) = F(G(x, y)) G(0,y) = F(y)

h(y1,…,ym) = f(g1(y1,…,ym),…,gn(y1,…,ym)) Composición En general, si f(x1,…,xn), g1(y1,…,ym),…, gn(y1,…,ym) son funciones, diremos que la función h(y1,…,ym) = f(g1(y1,…,ym),…,gn(y1,…,ym)) se obtiene a partir de ellas mediante composición. En realidad corresponde a la composición de G con f, donde G es la función vectorial con coordenadas g1, …, gn.

Totalidad y computabilidad de las funciones recursivas primitivas Si f es RP, es total La función prev: N - { 0 }  N definida mediante prev(x+1) = x no es total (y tampoco RP) Las funciones RP son computables, pues tanto f(x)=y como f(x)y se pueden determinar algorítmicamente en tiempo finito.

EJERCICIOS: Demostrar que las siguientes funciones son RP [RPN1] fk(x) = k [RPN2] suma(x, y) [RPN3] restap(x, y) // Da 0 si y > x [RPN4] producto(x, y) [RPN5] restaabs(x, y) // |x-y| [RPN6] positivo(x) // x > 0 ? 1 : 0 [RPN7] max(x, y) [RPN8] min(x, y) [RPN9] factorial(x) [RPN10] potencia(x, y) // xy [RPN11] par(x) // x = 2*(x/2) ? 1 : 0

EJERCICIOS: Demostrar que las siguientes funciones son RP [RPN12] cocientedefecto(x, 2) [RPN13] cocientedefectop(x, y) // (x, 0)  0 [RPN14] iguales(x, y) [RPN15] menoroigual(x, y) [RPN16] menor(x, y) [RPN17] divisor(x, y) [RPN18] primo(x) [RPN19] restodivision(x, y) [RPN20] primomayor(x) // Primero mayor [RPN21] mcd(x, y) [RPN22] mcm(x, y)

Funciones recursivas primitivas sobre cadenas de caracteres Las funciones recursivas básicas sobre cadenas de caracteres son: Anteposición: s(x). Ejemplo: sa(“abc”)=“aabc” Vacuidad: v(x) = (x=) ?  :  Proyecciones uin(x1, …, xn) = xi Ejemplos: f(x) = s(s(x)) g(,y) = fab(y) g(sa(x),y) = fab(g(x,y)) g(sb(x),y) = fba(g(x,y))

Funciones recursivas primitivas sobre cadenas de caracteres, II Una recursión primitiva sobre cadenas está formada por ||+1 reglas: f(s(w1),x2,…,wn) = g(f(w1,w2,…,wn),w1,w2,…, wn) f(0, w2, …, wn) = h(w2, …, wn) donde cada g y h son funciones recursivas primitivas. Las funciones recursivas primitivas sobre cadenas también son totales y computables

Funciones recursivas primitivas sobre cadenas de caracteres, III La función resto: +  * que elimina el primer carácter no es total ni, por lo tanto, recursiva primitiva

EJERCICIOS: Demostrar que las siguientes funciones son RP [RPC1] fv(w) = v [RPC2] start(v) // start(“ab”)=“a”, start(0) = 0 [RPC3] fin(v) // end(“ab”)=“b”, end(0)=0 [RPC4] cuenta(v) // cuentaa(“abbaba”)=“aaa” [RPC5] concatena(v, w) [RPC6] invierte(v) [RPC7] esPalíndrome(v) [RPC8] esVacía(v)

EJERCICIOS: Demostrar que las siguientes funciones son RP [RPC9] iguales(v, w) [RPC10] contiene(v, w) // contiene(“abcba”, “bcb”) = “a” // contiene(“abcba”, “bab”) = 0 [RPC11] sustituye(u, v, w) [RPC12] longitud(v) // longitud(“abc”) = “aaa”

Funciones recursivas primitivas: Suma recursiva Suponemos que f(n) es recursiva primitiva g(m) = f(0) + f(1) + … + f(m) g(0) = 0 g(m+1) = suma(g(m), f(s(m)) = h(g(m),m) donde h(x,y) = suma(x,f(s(y)) es primitiva recursiva, luego g también lo es.

Ejercicios Suponemos que f(m) es recursiva primitiva. Demostrar que las siguientes funciones también lo son: [RPA1], [RPA2], [RPA3], [RPA4] g(m,x) = min(f(0), f(1), …, f(m)) g(m,x) = f(f(…f(f(x))…)) // m concatenaciones de f g(x) = 1 si mx, f(m)=0, y g(x) = 0 en caso contrario g(x) = 1 si ∀mx, f(m)=0, y g(x) = 0 en caso contrario

Totalidad y computabilidad de la función de Ackerman F(i,x) = (i=0) ? x+1 : ((x=0) ? F(i-1,1) : F(i-1,F(i,x-1))) Es total Es computable Sin embargo, no es recursiva primitiva: Fj(x) = F(j, x) = Fj-1(Fj-1(…(Fj-1(0)…)) Fx(x) crece más rápido que cualquier función de la sucesión f0(x)=x+1, fj+1(x)=fj(fj(…(fj(0)…)) Las funciones R.P. crecen como alguna de las funciones anteriores

Formas de definición de las funciones recursivas Definición usual: Aplicar la definición repetidamente, utilizando una pila de cálculos parciales, hasta que se llegue al resultado Ejemplo: Para la función de Ackerman, F(1,1) = F(0,F(1,0)) = F(0,F(0,0)) = F(0,1) = 2

Formas de definición de las funciones recursivas, II Forma rigurosa (aunque teórica): Definir F sobre un primer dominio, D0, donde se puede calcular directamente Ejemplo: Para la función de Ackerman, D0={(i,x)|i=0}, en cuyo caso f0(i,x)=x+1 Definir F sobre un dominio Dj+1 si su cálculo se puede reducir al de F sobre Dj Ejemplo: D1=D0∪{(i,x) | x=0}; f1(i,x) = … D2=D1∪{(1,1)}; f2(i,x) = …, etc

Formas de definición de las funciones recursivas, III Interpretación de la forma anterior: punto fijo de un operador P(f)(x) = (i=0) ? x+1 : ((x=0) ? f(i-1,1) : f(i-1,f(i,x-1))) P(f0) = f1 P(f1) = f2 … F es un punto fijo de P: P(F) = F

h(x, y) = (x = 0) ? 1 : h(x – 1, h(|x – y|, y)) EJERCICIOS [REC 1] Calcular el dominio y los valores de las imágenes de las funciones f y g definidas mediante f(x,y) = 2.f(y, 2.x) g(x) = (x < 5) ? f(x, x) : ((x = 5) ? 1 : x*g(x-1)) [REC 2] Calcular el dominio y los valores de las imágenes de la función h definida mediante h(x, y) = (x = 0) ? 1 : h(x – 1, h(|x – y|, y))

Funciones recursivas: Minimización Si f(x,y) es una función recursiva, entonces g(x) = min { y | f(x,y) ≠ 0 } define otra función recursiva Demostración: Definimos gaux(x, z) = min { y | f(x, z+y) ≠ 0 } entonces gaux(x, z) = (f(x, z) ≠ 0) ? 0 : 1 + gaux(x, z+1) g(x) = gaux(x,0)

EJERCICIOS Suponiendo que la función f(x,y) sea recursiva, demostrar que también lo es la función g(x) cuyo valor es la suma f(x,0) + f(x,1) + … + f(x,n) donde n se elije de manera que los sumandos sean diferentes de 0 y f(x,n+1)=0.

Ejemplo de funciones recursivas: Máquinas de Turing Dada una máquina de Turing determinista M, la función transita(x, y), donde x e y son estados instantáneos de ejecución de M, que vale “a” si la máquina M lleva la cinta del estado x al y y  en caso contrario, es recursiva (pero no recursiva primitiva)

Ejemplo de funciones recursivas: Máquinas de Turing, II Demostración: transita(x, y) = esEstado(x) & esEstado(y) & & ((x=y) ? “a” : transita(aplicaRegla(x), y)) La función aplicaRegla(x) devuelve el resultado de aplicar una regla de transición de M a partir del estado de ejecución x; si no se puede, devuelve x. EJERCICIO: [MT REC] Demostrar que las funciones esEstado(x) y aplicaRegla(x) son recursivas primitivas.

Ejemplo de funciones recursivas: Máquinas de Turing, III Dada una máquina de Turing determinista M, la función ejecuta(x, y), donde x, y*, que devuelve el estado instantáneo de ejecución de M a partir de y después de |x| transiciones, es recursiva primitiva. Demostración: ejecuta(, y) = Sqº(y) ejecuta(S(x), y) = aplicaRegla(ejecuta(x, y))

Ejemplo de funciones recursivas: Máquinas de Turing, IV Dada una máquina de Turing determinista M, la función produce(x), que a cada cadena x le hace corresponder el contenido de la cinta cuando M se para a partir de x es recursiva (pero puede no ser recursiva primitiva) Demostración: produce(x) = quitaEstado(ejecuta(x,miny(para(ejecuta(x, y))))) Observación: miny se puede definir en este caso de forma análoga a como se hace con números.

Forma normal de funciones recursivas Todas las funciones recursivas se pueden escribir en la forma f(x) = p(miny(q(x, y))) donde p y q son funciones recursivas primitivas. Las funciones p y q se pueden elegir de manera que p simplemente elimine el contenido de la cinta previo a un separador.

Forma normal: programas La construcción anterior también se puede hacer con programas en lugar de máquinas de Turing: a partir de cualquier programa podemos construir otro equivalente que incorpora un contador y emula al primero paso a paso y cuando el inicial se para sigue ejecutándose sin hacer nada y guardando en una variable booleana fin la información de que el programa emulado ha terminado.

Forma normal: programas, II El cálculo del programa inicial se puede realizar buscando el valor mínimo del contador del programa emulador para el cual la variable fin es cierto, y devolviendo la variable que contiene el valor del programa emulado.

Ejemplo de funciones recursivas: Máquinas de Turing, V Si una máquina de Turing tiene una definición mediante submáquinas que es recursiva, la función que define sobre cadenas de caracteres es recursiva. Como consecuencia de lo anterior, las máquinas de Turing definidas recursivamente mediante submáquinas no proporcionan un mecanismo de computación más potente que las máquinas de Turing simples.

Ejemplo de funciones recursivas: Máquinas de Turing, VI La demostración de la afirmación anterior se basa en la función FM(q, u, x, v), que da el estado final de ejecución (q’, u’, x’, v’) calculado por la máquina a partir del estado q con la palabra uxv sobre la cinta, apuntando a la x. Su definición es FM(q, u, x, v) = FM(q’, 234(FN(q, u, x, v))) donde N es la submáquina correspondiente a la transición. Esto da lugar a una definición recursiva de las funciones FM. Si la submáquina es indeterminista, se demuestra de manera análoga utilizando conjuntos de estados en lugar de estados.

Qué funciones son recursivas? Todas las calculables Es consecuencia de lo anterior También es consecuencia de la construcción de una máquina universal que emula máquinas de Turing con submáquinas recursivas

Qué funciones son recursivas?, II Las que se obtienen a partir de las recursivas primitivas básicas mediante composición, recursión primitiva y minimización Es consecuencia de lo anterior