M.C. Jesús Antonio Jashimoto B. 1

Definición. La ecuación diferencial de variables separables es de la forma siguiente: f(x) dx + g(y) dy = 0 donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o una constante. 2

Método de Solución: Integración directa Cuando no pueden separarse las variables de una ecuación y no pueden agruparse en términos, en cada uno de los cuales estén las mismas variables habrá que usar otros métodos para encontrar la solución 3

2) Integrar cada miembro de la ecuación: Resolver ex+y y’ = x, con las condiciones iniciales y = ln 2 cuando x = 0 1) Separar las variables usando las propiedades de las funciones involucradas y los artificios algebraicos necesarios: 2) Integrar cada miembro de la ecuación: 4

y = | ln -x e-x –e-x +c, |, solución general en la forma explícita: ey = -x e-x –e-x +c, solución general en la forma implícita, por que no está despejada la variable dependiente y, pero: y = | ln -x e-x –e-x +c, |, solución general en la forma explícita: Y = f(x) 5

3) Aplicar las condiciones iniciales: y(0) = Ln2 en la solución general, ya sea en su forma explícita o implícita. En la Implícita: eLn2 = -0 -1 +c 2 = -1 + c C = 3 6

Aplicando exponencial en ambos lados de la igualdad 2 = 1(0-1) +c En la explicita Ln 2 = Ln | 1(0-1) +c | Aplicando exponencial en ambos lados de la igualdad 2 = 1(0-1) +c C = 3 7

Resolver xyy’=1+y2, para y = 3 cuando x = 1 o bien y(1) = 3. 1) Separar variables: 8

2) Integrar: La constante de integración no pierde su arbitrariedad, su carácter de cualquier número, si está afectada por funciones. Así, Ln|c| = c, por que el logaritmo natural de una constante es también una constante, del mismo modo se puede usar ec, c2, sen c, cosh c, etc. 9

Usando las propiedades de los logaritmos: Aplicando exponencial: Elevando al cuadrado La solución general implícita 10 10

3) Aplicar las condiciones iniciales y(1) = 3 c(1) – 9 = 1 c = 10 Es solución particular de la ecuación 11

2) Integrar término a término Resolver: 1) Separar variables: 2) Integrar término a término 12

La solución general es: 13

14

Ejercicios 6 - 11 15

Solución de ecuaciones de primer orden por sustitución Ecuaciones Homogéneas. Si el segundo miembro de la ecuación dy/dx = f(x, y) puede expresarse exclusivamente en términos de una función del cociente y/x, entonces se dice que la ecuación es homogénea. Tales ecuaciones siempre pueden transformarse en ecuaciones separables mediante un cambio de la variable dependiente. 16

Solución de ecuaciones de primer orden por sustitución

Método del Factor de Integración Si la función f en la ecuación depende linealmente de la variable dependiente y, entonces la ecuación se denomina ecuación lineal de primer orden.

Método del Factor de Integración Caso 1. Este método se aplica a ecuaciones diferenciales, en general, de la forma: Donde a es una constante dada y g(t) es una función dada. Se encuentra el factor de integración μ(t) y debe satisfacer:

Solucionando la ecuación anterior, tenemos que el factor de integración esta dado, por: Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor de integración

Si observamos la ecuación, podemos deducir que los términos: Corresponden a la derivada de una multiplicación: D(u*v) = uv’ +u’v Si v = y, u = eat , v’ = dy/dx, u’ = eat ay

Podemos reescribir la ecuación diferencial como: Si integramos ambas partes de la ecuación tenemos que: Despejando y tenemos que la solución general de la ecuación diferencial es:

Método de Factores de Integración Caso 2. Si la ecuación lineal de primer orden general es de la forma: Por lo que siguiendo un proceso similar el factor de integración será:

Con un proceso similar al del caso 1, llegamos a la conclusión que la solución general será del tipo:

Ejemplos por el método de factor de integración Resolver la ecuación diferencial Encontrando el factor de integración tenemos:

Multiplicando la ecuación diferencial por su factor de integración tenemos Simplificamos

Y obtenemos la solución despejando y

ECUACIONES EXACTAS Resolver la ecuación diferencial La ecuación no se lineal ni separable, así que los métodos apropiados para esos tipos de ecuaciones no son aplicables en este caso.

Sin embargo, obsérvese que la función: Tiene la propiedad que

Por lo tanto, la ecuación diferencial puede escribirse como: Si se supone que “y” es una función de x y se recurre a la regla de la cadena, es posible escribir la ecuación en la forma equivalente:

Por lo tanto,

De manera general, sea la ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y)y’ = 0 Supóngase que es posible identificar una

La ecuación diferencial: Es una ecuación diferencial exacta si al derivar: Es decir, existe una función z que satisface las ecuaciones

Paso para resolver una Ecuación Diferencial Exacta Paso 1:Dada la ecuación diferencial vemos si es exacta. Paso 2. Aplicamos la definición fx = M(x, y) , fy = N(x,y) Paso 3. Integramos con respecto a x, fx o respecto a y, fy:

Paso 4. Al resultado lo derivamos respecto a y o con respecto a x Paso 5. Igualamos el nuevo resultado a N o a M Paso 6 Integramos por última vez la ecuación.

Ejercicios 1.- (6xy – 2y2) + (3x2 – 4xy) dy/dx = 0 2.-(2y – 2xy2 + 4x + 6) + (2x – 3x2y2-1)dy/dx = 0 3.-(2x – 5y + 2) + (1 – 6y – 5x) dy/dx = 0 4.- (2xy3 – 4y + 4x – 3) + (3x2y2 – 4x) dy/dx = 0

Ecuaciones no exactas Una ecuación diferencial no es exacta, puede convertirse en exacta si encontramos un factor de integración que la convierta en exacta. Podemos encontrar el factor de integración de las siguientes maneras:

Encontrar el factor integrante de las siguientes ecuaciones 1.- (3x2y) + y dy/dx 2.- (y + x + 2) + dy/dx = 0 3.- (ex + y2) + (xy – ex/y – 2y2) dy/dx = 0 4.- (xy + y + y2) + (x + 2y) dy/dx = 0