Guías Modulares de Estudio Cálculo diferencial – Parte B

Semana 1 y 2: Las razones de cambio y la derivada

Las razones de cambio y la derivada Objetivo: Resolver problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

Las razones de cambio y la derivada Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.   Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes:

Las razones de cambio y la derivada Definiciones de Derivada: Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto (x , f(x) ) es la derivada de f en x. Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x. Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad. Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Las razones de cambio y la derivada Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación: A medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:

Las razones de cambio y la derivada Analizando esta línea tangente podemos ver que el triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cual es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea recta. 

Las razones de cambio y la derivada Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la tangente: pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una línea recta Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos: sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando o lo que equivale a decir que se genera el limite:

Las razones de cambio y la derivada Tablas de derivadas elementales Tablas de derivadas elementales

Las razones de cambio y la derivada Derivadas de funciones trigonométricas

Las razones de cambio y la derivada Ejercicios resueltos Encuentra la derivada de la siguiente función: Solución: Como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si entonces por lo que para la función planteada en el ejercicio: Recordando que la derivada de una función potencia es y que en la derivada de una constante es cero tendremos Es decir, 

Las razones de cambio y la derivada Ejercicios resueltos Encontrar la derivada de la función: Solución: Derivando cada término Por lo que:

Las razones de cambio y la derivada Ejercicios resueltos Encuentra la derivada de la siguiente función: Solución: Por lo tanto,

Las razones de cambio y la derivada Ejercicios resueltos Encuentra la derivada de la siguiente función: Solución: aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:

Las razones de cambio y la derivada Ejercicios resueltos Encuentra la derivada de la siguiente función: Solución:

Las razones de cambio y la derivada Derivadas de orden superior La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada: de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. 

Las razones de cambio y la derivada Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son: para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

Las razones de cambio y la derivada Ejemplo: Encontrar las primeras cuatro derivadas de la siguiente función: Solución:

Semana 3 y 4: Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Valores máximos y mínimos relativos Objetivo: Calcular valores máximos y mínimos de una función; mediante la aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.

Valores máximos y mínimos relativos Cuando la función f es positiva el gráfico esta por encima del eje de las x. Cuando la función f es negativa el gráfico está por debajo del eje de las x. Cuando función f cambia de signo la función cruza al eje de las x.

Valores máximos y mínimos relativos Donde la primera derivada f´(x) es positiva el gráfico sube. Donde la primera derivada f´(x) es negativa el gráfico desciende.

Valores máximos y mínimos relativos Luego entonces podemos concluir que el punto máximo de una función f derivable en un intervalo cerrado ocurre en una de las dos situaciones siguientes: En un punto terminal del intervalo En un punto crítico, es decir, f´(x)=0. Ejemplo: Obtener el máximo valor de la función f(x)=x3+x2-x+1 para un valor de la variable x en el intervalo [-1,1] Para poder obtener la solución resulta necesario considerar que los valores extremos de la variable y los puntos donde la derivada se hace cero. Los valores de la función evaluada en los puntos extremos de la variables son: f(-1)=-13+-12-1+1= 0 f(1)=13+12-1+1=2 su derivada es: f´(x)=3x2+2x-1

Valores máximos y mínimos relativos Analizando sus raíces, es decir, para el caso f´(x)=0 tendremos: 3x2+2x-1 =0 pero como:   Es necesario evaluar la función en ambos valores x=1/3 y x=-1: f(1/3)=(1/3)3+(1/3)2-(1/3)+1 =22/27 f(-1)=-13+-12-1+1=0

Valores máximos y mínimos relativos Estos valores están en el rango como podemos observar uno de los valores, el mínimo corresponde a uno de los extremos, sin embargo el valor máximo obtenido, es un valor máximo local ya que el valor máximo es el del extremo, gráficamente tenemos la siguiente situación:

Bibliografía Ortiz Campos, José Francisco : Cálculo diferencial, Publicaciones Cultural 2007