DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario ` ah (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A   es  1- p  y la representamos por q . El experimento consta de un número n  de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X  que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n  suponiendo que se han realizado n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k). La distribución Binomial se suele representar por  B(n,p)  siendo n  y  p  los parámetros de dicha distribución.

Función de Probabilidad de la v.a. Binomial Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose:  0 <  p < 1

Ejemplo 1 Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2 La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

Ejemplo 3 La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica. Solución :

Función de Distribución de la v.a. Binomial siendo k el mayor número entero menor o igual a xi. Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

Ejemplo 4   Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial donde :      Para R= 3 obtenemos que : P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3(0.6)2 P(3) = 0.2304 Para R= 4 obtenemos que : P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1  P(4) = 0.0768 Para R= 5 obtenemos que : P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0   P(5) = 0.01024   Realicemos el cálculo de cada valor de R: Para R= 0 obtenemos que : P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5 P(0) = 0.07776 Para R= 1 obtenemos que : P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4 P(1) = 0.2592 Para R=2 obtenemos que: P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3 P(2) = 0.3456 P= 0.4 K= 0.6 N= 5

TABLA DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL                                                                                                                                                                                                            

Cetina López Wendy. BERNOULLI. México. 2005. pp. 11.