VECTORES EN EL PLANO Nivel 4º E.S.O.

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q P Q

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por Q R S Vectores de la misma magnitud

Un vector es un segmento orientado

Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido P Q S R Q P S R S R Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas

Vectores Equivalentes Definición Geométrica Tienen la misma magnitud y dirección Q P S R Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

Eje y O Eje x Representante del vector por el origen de coordenadas

b a A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) u O Eje Y O Eje X P(a,b) b u a (a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

6cm 31º 10cm

15cm ¿b? 11º ¿a?

Magnitud o módulo de un vector u Dirección  de u Angulo positivo que forma con el eje X u a b (a,b) Eje Y O Eje X Un vector de módulo uno se llama unitario  El vector nulo (0,0) no tiene dirección

Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Eje Y O Eje X

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Eje Y O Eje X x y u yj j xi i Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j

Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Eje Y O Eje X

Operaciones con vectores Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y  un número real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (x+a, y+b) producto por un escalar  u como  u=(x, y).

Operaciones con vectores Eje Y O Eje X u+ v u v Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo

Operaciones con vectores Eje Y O Eje X u u- v v u- v Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo

Operaciones con vectores Eje Y O Eje X u+ v u v Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del paralelogramo

Operaciones con vectores Si u=(x,y),  u=(x, y) Eje Y O Eje X u >0 u 0<<1 u <0 Si u=(x,y),  u=(x, y)

Producto escalar Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=│u││v│cos : Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v. 

El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

Nueva definición de Producto escalar:

Producto escalar Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by  Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar Eje X Eje Y /2 Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .  Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Propiedades del producto escalar u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.

Teorema: u Interpretación geométrica:  v Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:  v u Interpretación geométrica: ucos

Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.