Geometría de Proporción Prof: Isaías Correa M.

Geometría de Proporción I Congruencia, Equivalencias, Semejanza, Elementos Homólogos y División de Trazos.

APRENDIZAJES ESPERADOS Identificar triángulos congruentes y semejantes. Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos. Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras. Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.

Contenidos Figuras congruentes 2. Figuras Equivalentes 1.1 Definición 1.2 Triángulos Congruentes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros 3.5 Postulados de semejanza

4. División de un segmento 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4.4 Sección áurea o Divina

1. Figuras congruentes ( ) 1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

1.2 Triángulos congruentes Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: A C B D F E 8 8 6 6 10 10 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

a a Ejemplo: 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D 3 3 a a 5 5 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

b b a a Ejemplo: 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D b b 12 12 a a Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2. Figuras Equivalentes Ejemplo: Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√p , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4p Área = 4p

3. Figuras semejantes (~) 3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e 2 4 6 12 4 8 3 5 6 10 Además, están en razón 1:2.

3.2 Triángulos Semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: E F D a b g A B C a b g 9 12 3 4 5 15 AB es homólogo a DE Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k BC es homólogo a EF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = k AC es homólogo a DF Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

3.3 Elementos Homólogos Ejemplo:  Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales. Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales). Ejemplo: P Q R A B C 4 3 10 6 5 8 AB PQ = BC QR = CA RP = k  5 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2 = k

hR hC hC hR 2,4 4,8 1 2 Además, = = = k P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 Recuerda: Teorema de Euclides a · b c hC =

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros Entre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: Q 6 10 hR P R 8 A B 3 4 5 C hC PABC PPQR 12 24 1 2 = = = k

Entre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: A B 3 4 5 C hC Q 6 10 hR P R 8 AB PQ = = k 5 10 1 2 AABC APQR = 6 24 1 4 = k2

3.5 Postulados de semejanza 1° Postulado AA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: A B C 34o 55o E F D Δ ABC ~ Δ DFE por AA AB DF BC FE AC DE = = k Además

8 4 5 12 6 10 Ejemplo: 2° Postulado LLL. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. A B C 4 E F D 5 6 12 8 10 Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL AB FD BC DE AC FE 1 2 = = k Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

57° 12 4 5 15 Ejemplo:  3° Postulado LAL. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. A B C 4 E F D 5 12 15 57° Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FED por LAL BC ED 4 12 5 15 1 3 = = k AC FD  Además BAC=DFE y CBA=FED

Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: Q R P a g b 6 A B C a b g 4 10 Solución: Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = k Con k razón de semejanza Es decir: AB PR 10 QR 4 6 =  10 QR 4 6 =  60 = 4∙QR  15 = QR

4º Postulado: LLA> Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente. Ejemplo: F C 16 28 8 14     A B D E Δ ABC ~ Δ DEF por LLA> Razón de semejanza: 1 : 2

4. División de un segmento 4.1 División interior Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: AC CB = m n C A B Ejemplo: Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB? Q A B

   Solución: Q A B 45 27 AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3∙45 5 Por lo tanto, AB mide 72

4.2 División exterior AD BD = m n Ejemplo: Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: AD BD = m n B A D Ejemplo: Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? 20 B A D

   Solución: 20 B A D 12 8 AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20∙2 5

4.3 División armónica m AC CB = n AD BD Ejemplo: Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: m AC CB = n AD BD A C B D Ejemplo: Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? 12 A C B D

4.4 Sección Áurea o Divina AB AX = BX Ejemplo: El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. X A B Si AX > BX, entonces: AB AX = BX ó (AX)2 = AB∙BX OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ   Ejemplo: En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 P A B

   Solución: 5 P A B (AP)2 = AB∙PB (AP)2 = (AP + 5)∙5

Geometría de Proporción II

APRENDIZAJES ESPERADOS: Conocer el teorema de Apolonio. Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides. Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.

Contenidos Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio 2. Teorema de Euclides 3. Teorema de Thales

Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz) En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción: b u a v = a a b a u D v Este teorema es válido para cualquier triángulo.

a Ejemplo: D 9 5 10 Solución: 10 5 = AD = 9 2  En la figura, determinar el valor de AD. D 9 5 10 a Solución: Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene: 9 AD 10 5 = AD = 9 2 

2. Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces: ∙ hc2 = p q T. De la Bendición a2 = c q ∙ T. De la Derecha b2 = c p ∙ T. De la Izquierda Además, se cumple que: hc = a·b c T. De la Altura

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición) CD2 = AD DB ∙ (Reemplazando) CD2 = 4 3 ∙ (Aplicando raíz) CD = 4 3 ∙ CD = 2 3

Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que: AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando) AC2 = 7 4 ∙ (Aplicando raíz) AC = 2 7 2 7 2 3

3. Teorema de Thales a) Forma de Escalera: Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: a) Forma de Escalera: Sean L1 // L2 // L3, entonces: C D F E A B L1 L2 L3 AB BC DE EF = BC AC EF DF = AB AC DE DF =

b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales: Sean L1 // L2, entonces: A O C D B L1 L2 OA AB OC CD = OA OB OC OD = AB OB CD OD = OA AC OB BD = OC AC OD BD =

c) Forma de Reloj de Arena: Sean L1 // L2, entonces: L1 L2 A C B O D AO OD BO OC = AB CD AO OD = AB CD BO OC =

Ejemplos: Solución:   1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC. A O C D B L1 L2 5 7 36 Solución: Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»: OA AC OB BD =  5 AC 12 36 =  AC = 15

Solución:   2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y. L1 L2 A C B O D x + y 2y 2x Solución: Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales: AB CD AO OD =  x+y 2x 2y OD =  4xy x+y OD =

Ahora a estudiar….