TEMA 3 PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

Dos pasos: Identificar incógnitas Plantear las ecuaciones

Identificar incógnitas

1. Identificar incógnitas Fijarse cuáles son las cantidades que no sabemos PREGUNTA DEL PROBLEMA Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

1. Identificar incógnitas Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. x : leche y : jamón z : aceite x : precio de 1L de leche (€) y : precio de 1kg de jamón (€) z : precio de 1L de aceite (€) Escribir correctamente qué cantidad y en qué unidad viene dada la incógnita

1. Identificar incógnitas Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han comprado. x : A y : B z : C x : número de envases de la marca A vendidos y : número de envases de la marca B vendidos z : número de envases de la marca C vendidos

1. Identificar incógnitas Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 50.49 €. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 41.47 €. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. x : A y : B z : C x : precio de una unidad de A (€) y : precio de una unidad de B (€) z : precio de una unidad de C (€)

Plantear las ecuaciones

2. Plantear las ecuaciones 2.1 IGUALDAD La suma del precio del autobús y el tren coincide con el del metro x y z es lo mismo que se obtiene es (ser) … x + y = z

2. Plantear las ecuaciones 2.2 EXCESO, SUMA, DIFERENCIA El número de patatas excede en una unidad al de cebollas x y x = y + 1 Si al número de móviles se le suma el de ordenadores se obtiene el de TV x y z x + y = z La diferencia entre el salario de Juan y el de Pepe es de 500€ x y x - y = 500

2. Plantear las ecuaciones 2.3 PROPORCIONES x = 2y Hay el doble de chicas que de chicos x y Hay menos chicos, por tanto hay que multiplicarlo por dos para obtener el número de chicas El salario de Juan es el quíntuplo del salario de David x = 5y x y El salario de David es menor, por tanto lo multiplicamos por 5 para obtener el de Juan

2. Plantear las ecuaciones 2.3 PROPORCIONES x = 2/3 · y María gana 2/3 de lo que gana Elena x y María gana menos, por tanto multiplicamos lo que gana Elena por 2/3 para obtener el sueldo de María El coche vale un tercio de lo que vale la moto y el camión x y z El coche vale menos que la suma de lo que vale la moto y el camión, por tanto dicha suma se multiplica por 1/3 para obtener el precio del coche x = 1/3 · (y+z)

2. Plantear las ecuaciones 2.3 PROPORCIONES La edad de Blanca es la mitad de la de Ángel y x Blanca tiene menos años, por tanto divido la edad de Ángel por dos, para obtener la de Blanca… … o multiplico por dos la edad de Blanca para obtener la de Ángel x = y/2 2x = y El número de hombres y de mujeres duplica al de niños x y z Hay menos niños, por tanto multiplico el número de niños por dos para obtener el número de hombres y de mujeres… … o divido el número de hombres y de mujeres entre dos x+y = 2z (x+y)/2 = z

2. Plantear las ecuaciones 2.3 PROPORCIONES x = 8y Hay ocho veces más chicas que chicos x y Hay menos chicos, luego multiplico por 8 el número de chicos para obtener el número de chicas Por cada tres chicas hay diez chicos x y Hay menos chicas que chicos, por tanto multiplico el número de chicas por 10 y el número de chicos por 3 10x = 3y Chicas 3 10 · 3 = 30 Chicos 10 3 · 10 = 30

2. Plantear las ecuaciones 2.4 PORCENTAJES x = 0,3·y El lápiz cuesta el 30% de lo que cuesta el boli x y 30% = 0,3 85% = 0,85 10% = 0,1 5% = 0,05 1% = 0,01 90% = 0,9 … El número de profesores es el 40% del de alumnos x y x = 0,4·y

2. Plantear las ecuaciones 2.4 PORCENTAJES La suma del número de patatas y cebollas es el 10% del de los tomates x y z x+y = 0,1·z El precio del coche A rebajado un 20% coincide con el de B x y 0,8·x = y Rebajar un 20% equivale a quedarse con el 80% del valor En general, rebajar un x% significa quedarse con (100-x)% del valor

2. Plantear las ecuaciones 2.4 PORCENTAJES x = 1,2·y Juan gana un 20% más que Ana x y Ganar (o ser, o aumentar) un 20% más, equivale al 120% del valor En general, ganar (o ser, o aumentar) un x% más equivale al (100+x)% del valor El beneficio de A aumentado un 50% sería igual al de la empresa B x y 1,5·x = y

2. Plantear las ecuaciones 2.5 DEUDA / SOBRANTE Con el dinero que tengo, si compro la moto y el casco dejaría una deuda de 200€ x y z x + 200 = y + z Tengo menos dinero de lo que valen la moto y el casco, por tanto debo sumar a mi dinero la deuda (200€) para obtener el coste total de la compra (moto+casco) Con el dinero que tengo, comprando el lápiz y el periódico me sobra 1 € x y z Tengo más dinero de lo que valen el lápiz y el periódico, por tanto resto a mi dinero el sobrante de la compra (1€) para obtener el coste total. … de otra forma, sumo al coste total (lápiz+periódico) un euro para obtener el dinero que tengo. x – 1 = y + z x = y + z +1

2. Plantear las ecuaciones 2.6 MEDIAS ARITMÉTICAS La media de la nota del examen A y la nota del examen B fue de 7 x y (x+y)/2 = 7 La media del salario de Pedro, Juan y Ana es de 1500€ x y z (x+y+z)/3 = 1500 La media se calcula dividiendo la suma de las cantidades por el número total de sumandos. La empresa B gana la media de lo que ganan A y C y x z y = (x+z)/2

2. Plantear las ecuaciones 2.7 CANTIDAD · PRECIO UNITARIO = PRECIO TOTAL He comprado 4 libretas, a 3€ cada una, y he comprado 2 lápices que cuestan 0,50€ cada uno. En total me he gastado… 4 · 3 + 2 · 0,50 = 13 Precio total He comprado 4 libretas y 2 lápices. En total me he gastado 13€. ¿Cuánto cuesta cada libreta y cada lápiz? x y 4 · x + 2 · y = 13 Precio unitario Cada libreta cuesta 3€ y cada lápiz 0,50€. En total me he gastado 13€. ¿Cuántas libretas y cuántos lapices he comprado? x y x · 3 + y · 0,50 = 13 Cantidad

Ejemplos

3. Ejemplos 3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. x : precio de 1L de leche (€) y : precio de 1kg de jamón (€) z : precio de 1L de aceite (€) Precio unitario cantidad·preciounitario + cantidad·preciounitario + cantidad·preciounitario + … = precio total 24·x + 6·y + 12·z = 156 1ª Ecuación (la del dinero)

3. Ejemplos 3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. x : precio de 1L de leche (€) y : precio de 1kg de jamón (€) z : precio de 1L de aceite (€) Precio unitario sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche z x z = 3x 2ª Ecuación (proporción)

3. Ejemplos 3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. x : precio de 1L de leche (€) y : precio de 1kg de jamón (€) z : precio de 1L de aceite (€) Precio unitario y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche y z x y = 4·z + 4·x 3ª Ecuación (suma y cantidad·precio unitario)

3. Ejemplos 3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. x : precio de 1L de leche (€) y : precio de 1kg de jamón (€) z : precio de 1L de aceite (€) Precio unitario 24x + 6y + 12z = 156 4x + y + 2z = 26 z = 3x arreglamos -3x + z = 0 y = 4z + 4x -4x + y - 4z = 0

3. Ejemplos 3.1 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. 4x + y + 2z = 26 -3x + z = 0 -4x + y - 4z = 0 rg(A)=rg(A/b)=3=n  Por el Teorema de Rouche-Frobenius es un SCD Sol.  1L de leche cuesta: 1€ 1kg de jamón cuesta: 16€ 1L de aceite cuesta: 3€

3. Ejemplos 3.2 x : número de envases de la marca A vendidos Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. x : número de envases de la marca A vendidos y : número de envases de la marca B vendidos z : número de envases de la marca C vendidos Cantidad

3. Ejemplos 3.2 Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. C B A Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g) Precio unitario 100 € 180 € 330 € LOTE (5 cajas) ? 2,5 kg 890 €

250·x + 500·y + 1000·z = 2500 C B 3. Ejemplos 3.2 A Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. C B A Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g) Precio unitario 100 € 180 € 330 € ¡¡ cantidad · pesounitario !! El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos… 250·x + 500·y + 1000·z = 2500

100·x + 180·y + 330·z = 890 C B 3. Ejemplos 3.2 A Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. C B A Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g) Precio unitario 100 € 180 € 330 € …por un importe de 890 €… 100·x + 180·y + 330·z = 890

x + y + z = 5 C B 3. Ejemplos 3.2 A ? El lote iba envasado en 5 cajas Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. C B A Peso unitario 250 g 500 g 1 kg (1000 g) Precio unitario 100 € 180 € 330 € El lote iba envasado en 5 cajas LOTE (5 cajas) ? x + y + z = 5

3. Ejemplos 3.2 x + y + z = 5 x + y + z = 5 100x + 180y + 330z = 890 Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. x + y + z = 5 x + y + z = 5 100x + 180y + 330z = 890 arreglamos 10x + 18y + 33z = 89 250x + 500y + 1000z= 2500 x + 2y + 4z= 10

3. Ejemplos 3.2 Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. rg(A)=rg(A/b)=3=n  Por el Teorema de Rouche-Frobenius es un SCD Aplico la regla de Cramer:

3. Ejemplos 3.2 Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 €, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330 €. El almacén vende a un cliente 2.5 kilogramos de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han vendido. Sol.  2 cajas de la marca A 2 cajas de la marca B 1 caja de la marca C LOTE (5 cajas) C B B A A

(x + y + z)/3 = 0,90 3. Ejemplos 3.3 x : precio de una unidad de A (€) Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. x : precio de una unidad de A (€) y : precio de una unidad de B (€) z : precio de una unidad de C (€) Precio unitario El precio medio de las tres conservas es de 0,90€. (x + y + z)/3 = 0,90 1ª Ecuación (media aritmética)

3. Ejemplos 3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. x : precio de una unidad de A (€) y : precio de una unidad de B (€) z : precio de una unidad de C (€) Precio unitario Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. 30·x + 20·y + 10·z = 59 2ª Ecuación (cantidad · precio unitario) LOTE CLIENTE 1

20·x + 25·z = 37 3. Ejemplos 3.3 x : precio de una unidad de A (€) Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. x : precio de una unidad de A (€) y : precio de una unidad de B (€) z : precio de una unidad de C (€) Precio unitario Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. 20·x + 25·z = 37 3ª Ecuación (cantidad · precio unitario) LOTE CLIENTE 2

3. Ejemplos 3.3 (x + y + z)/3 = 0,90 x + y + z = 2,7 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. (x + y + z)/3 = 0,90 x + y + z = 2,7 30x + 20y + 10z = 59 arreglamos 3x + 2y + z = 5,9 20x + 25z= 37 4x + 5z= 7,4

3. Ejemplos 3.3 Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de 0.90€. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 59€. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 37€. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C. rg(A)=rg(A/b)=3=n  Por el Teorema de Rouche-Frobenius es un SCD Aplico la regla de Cramer: Sol.  Una unidad de A cuesta 1,10€ Una unidad de B cuesta 1€ Una unidad de C cuesta 0,60€

TEMA 3 PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES FIN MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO