Teoría frecuentista del contraste de hipótesis Programa de doctorado en Estadística, Análisis de datos y Bioestadística Fundamentos de Inferencia Estadística Jordi Ocaña Rebull Departament d’Estadística

Puntos a tratar: Lema de Neyman-Pearson. Caso de hipótesis nula y/o alternativa compuesta. Tests UMP Tests insesgados UMP: IUMP Parámetros “de ruido” y estadísticos suficientes. Tests condicionales Test de razón de verosimilitud. Teorema de Wilks

Lema de Neyman-Pearson Contraste de dos hipótesis simples El test MP entre todos los de nivel a es el basado en el criterio de rechazar H0 si

Hipótesis nula compuesta Utilidad del lema de Neyman-Pearson muy limitada ¿Qué ocurre en el caso de hipótesis compuestas? Si H0 compuesta, posiblemente existe un único (normalmente en la frontera entre hipótesis) En este caso, contraste equivalente basado en

Hipótesis alternativa compuesta Plantear una solución basada en el lema de Neyman-Pearson como si H1 simple, para q1 indeterminado Si forma de esta solución no depende de q1 concreto, tenemos el test UMP Ejemplo:

No existencia de test UMP y tests insesgados UMP: IUMP En algunos casos (p.e. para H1: q ¹ q0 bilateral) forma de la solución (según el lema de Neyman-Pearson) depende de q1 Posible solución: condiciones adicionales para descartar tests “inaceptables”, como los tests “sesgados” Definición: T, de nivel a, insesgado sii:

Ejemplo de test IUMP Alternativa bilateral para la media de una normal: Otros criterios localmente más potentes pero sesgados:

Parámetros “de ruido” y estadísticos suficientes Razón por la cual enfoque anterior no funciona: a menudo q = (y,w), y parámetro de interés, w parámetro “de ruido” Si estadístico suficiente para w, buscar test condicional a , con espacio muestral restringido a

Tests condicionales Objeciones metodológicas a su empleo Pero utilizados en casos importantes: test de probabilidad exacta de Fisher en tablas de contingencia, tests de permutaciones En algunos casos se pueden reducir a un test no condicional, p.e:

Test de razón de verosimilitud Enfoque de Neyman-Pearson (construir directamente el test óptimo) es muy complicado Métodos más intuitivos y generales de construcción de test, determinación a posteriori de sus propiedades  óptimas Razón de verosimilitud: basado en idea intuitiva, pero con muy buenas propiedades

Test de razón de verosimilitud Para el planteamiento general del contraste paramétrico de hipótesis:

Test de razón de verosimilitud. Propiedades y comentarios Estadístico (y) mide grado de ajuste entre H0 y los datos y ¿Es H0 una restricción “poco verosímil”? Función de las MLE bajo H0 y general, respectivamente: Función de estadísticos suficientes para q El test resultante coincide con los test UMP y IUMP para los contrastes usuales bajo normalidad (y otros casos)

Test de razón de verosimilitud. Propiedades asintóticas Teorema de Wilks: bajo condiciones de “problema regular de estimación” En la práctica: