Sistemas Numéricos Sistema de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde: N es el sistema de numeración considerado S son los símbolos permitidos en el sistema. Ejemplos: sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F} R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.

Sistemas Numéricos 125(10) valido 125A(10) invalido Nota:Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeracíon utilizado se añade como subíndice al número). Los sistemas numéricos se clasifican en posiciónales y no posiciónales 125(10) valido 125A(10) invalido Ejemplo de un sistema numérico no posicional

Sistemas Numéricos Clasificación Los sistemas de numeración usados en la actualidad son ponderados o posiciónales. En estos sistemas de numeración el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. Podemos ver esto con un ejemplo en el sistema de numeración decimal. Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.

Sistemas Numéricos De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100. Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Sistemas Numéricos Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

Sistemas Numéricos El sistema de numeración decimal está basado en dos principios: 10 como base del sistema: Hacer grupos de 10: 10 unidades hacen una decena 10 decenas hacen una centena, etc. Posición: Esto consiste en asignar un lugar a cada tipo de unidad (unidades, decenas, centenas, etc.).  A la izquierda está la unidad de mayor valor, la de orden inmediatamente menor a la derecha de la anterior y luego la siguiente hasta que se escribe la unidad de menor valor.  Para el número 236, sería así:

Sistemas Numéricos Etapas en la comprensión del sistema de numeración decimal: Etapa 0: Significación Global: El alumno no muestra comprensión del valor relativo de los dígitos; sabe que 35 es la forma corta de escribir treinta y cinco pero no reconoce que el dígito 3 significa 3 grupos de diez unidades. Etapa 1: Significación Aditiva: El alumno se hace conciente del valor relativo de los dígitos y lo puede expresar utilizando la adición: 87 = 80 unidades y 7 unidades; 87 = 80 + 7 346 = 300 unidades, 40 unidades y 6 unidades; 346 = 300 + 40 + 6

Sistemas Numéricos Etapa 2: Significación Aditiva-Multiplicativa: Ahora el alumno puede expresar el valor  relativo de los dígitos utilizando tanto la adición como la multiplicación: 87 = 8 grupos de 10 unidades y 7 unidades; 87 = 8 x 10 + 7 346 = 3 grupos de 100 unidades, 4 grupos de 10 unidades y 6 unidades 346 = 3 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1 Etapa 3: Significación Polinominal: El alumno asigna un significado abstracto a cada dígito: 346 = 3 grupos de diez de diez, 4 grupos de diez y 6 de uno 346 = (3 x 10 x 10) + (4 x 10) + (6 x 1) Al examinar estas etapas, se hace evidente que para que los alumnos comprendan completamente el sistema, necesitan construir un pensamiento aditivo y multiplicativo