Distribución binomial Matemáticas aplicadas a las CCSS II Ana Pola IES Avempace

Experiencia de Bernouilli Cuando una experiencia aleatoria, como el lanzamiento de una moneda, tiene sólo dos posibles resultados la denominamos experiencia de Bernoulli: a uno de los resultados posibles lo denominaremos "éxito" y al otro "fracaso". Es posible simbolizarlos de muchas maneras, pero una de las más cómodas es designar como 0 el fracaso y como 1 el éxito. La repetición de una experiencia de Bernoulli n veces, da origen a un tipo especial de distribución discreta de probabilidad: la distribución binomial.

Distribución binomial 1 Un fenómeno aleatorio sigue la distribución binomial cuando cumple: El resultado de una prueba es éxito o fracaso Se realizan n ensayos independientes La probabilidad de éxito es constante y la llamamos p. Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante y es q = 1 - p. Se quiere saber la probabilidad de r éxitos en las n pruebas.

Distribución binomial 2 La variable aleatoria X que cuenta el número r de éxitos en las n pruebas se llama binomial y se caracteriza por los parámetros n y p. Abreviadamente se escribe B(n, p) y la función de probabilidad es donde

Triángulo de Tartaglia o de Pascal y los números combinatorios 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Ejemplo 1 Un buen jugador de dardos acierta en el centro de la diana el 80% de las veces que se lo propone. Si hace 5 lanzamientos: ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente cuatro de ellos? ¿Y de que los acierte todos? ¿Y de que los falle todos? Se trata de una distribución binomial B(5; 0,8)

Ejemplo 2 Una empresa de seguridad coloca cuatro alarmas independientes que funcionan correctamente en el 90% de las ocasiones que es necesario. En una situación de peligro, cuál es la probabilidad de que: no suene ninguna de las cuatro, suene alguna de las cuatro. Se trata de una distribución binomial B(4; 0,9)

Media y desviación típica En una distribución binomial de parámetros n y p, es decir B(n; p), la media y la desviación típica se calculan mediante las fórmulas: En los ejemplos anteriores: B(5; 0,8): B(4; 0,9):

Ejemplo de ajuste a una binomial En un lote de 600 piezas que tiene cada una tres componentes, se han obtenido las siguientes frecuencias de defectos: Ajustar una distribución binomial y calcular cuál es la probabilidad teórica de que un componente sea defectuoso. Número de componentes defectuosos 1 2 3 Número de piezas 311 227 59

Ajuste a una binomial En algunas situaciones se tienen unos datos de los que se sospecha que responden a un comportamiento binomial y se desea confirmar esta intuición. Para ello: Calculamos la media x de los datos y la igualamos a la media = np de la teórica binomial. Comparamos la distribución empírica con la teórica. Para ello: Hallamos las probabilidades P[x = r] para r = 0, 1, …, n en la B(n, p) y las multiplicamos por n para averiguar cómo se repartirían los n individuos en la distribución teórica. Para cada valor de r, hallamos la diferencia entre el valor empírico y el teórico. Según que la mayor de las diferencias sea suficientemente pequeña o no, aceptamos o rechazamos la hipótesis de que los datos provienen de una binomial.

Solución: Número de componentes defectuosos 1 2 3 Número de piezas 311 1 2 3 Número de piezas 311 227 59 La media de la muestra es: Así: 0,59 = np = 3p, y de aquí p ≈ 0,197 ≈ 0,2 Calculamos las frecuencias teóricas correspondientes. Como p ≈ 0,2, q = 0,8. Entonces: En 600 piezas se tienen: 600 · 0,512 ≈ 307 piezas con 0 defectos ; 600 · 0,384 ≈ 230 piezas con 1 defecto 600 · 0,096 ≈ 58 piezas con 2 defectos ; 600 · 0,008 ≈ 5 piezas con 3 defectos Las frecuencias teóricas no difieren excesivamente de los valores reales: la distribución de componentes defectuosos sigue un comportamiento aleatorio según la binomial B(600; 0,2).