Concavidad y puntos de inflexión Veamos unas definiciones y teoremas.

Definición: Cóncava hacia arriba Se dice que la gráfica de una función 𝑓 es cóncava hacia arriba en el punto 𝑐, 𝑓 𝑐 , si existe 𝑓´ 𝑐 y si existe un intervalo abierto 𝐼 que contenga a 𝑐, tal que para todos los valores de 𝑥≠𝑐 en 𝐼, el punto 𝑥, 𝑓 𝑥 en la gráfica esté arriba de la recta tangente a la gráfica en 𝑐, 𝑓 𝑐 .

Definición: Cóncava hacia abajo Se dice que la gráfica de una función 𝑓 es cóncava hacia abajo en el punto 𝑐, 𝑓 𝑐 , si existe 𝑓´ 𝑐 y si existe un intervalo abierto 𝐼 que contenga a 𝑐, tal que para todos los valores de 𝑥≠𝑐 en 𝐼, el punto 𝑥, 𝑓 𝑥 en la gráfica esté abajo de la recta tangente a la gráfica en 𝑐, 𝑓 𝑐 .

Veamos la siguiente figura.

Teorema Sea 𝑓 una función diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a 𝑐. Entonces: (i) Si 𝑓´´ 𝑐 >0, la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝑐, 𝑓 𝑐 ; (ii) Si 𝑓´´ 𝑐 <0, la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝑐, 𝑓 𝑐 .

Ejemplo ilustrativo 1 Supongamos que se calcula 𝑡 horas después de comenzar a trabajar a las 7 A.M., un obrero que labora en el departamento de ensamblaje ha realizado una tarea determinada en 𝑓 𝑡 unidades y 𝑓 𝑡 =21𝑡− 9𝑡 2 − 𝑡 3 0≤𝑡≤5 Busque la primera derivada. Busque la segunda derivada.

Ejemplo ilustrativo 1 Supongamos que se calcula 𝑡 horas después de comenzar a trabajar a las 7 A.M., un obrero que labora en el departamento de ensamblaje ha realizado una tarea determinada en 𝑓 𝑡 unidades y 𝑓 𝑡 =21𝑡+ 9𝑡 2 − 𝑡 3 0≤𝑡≤5 Evalúe 𝑓 𝑡 en el intervalo 0≤𝑡≤5 Evalúe la primera y la segunda derivada en el mismo intervalo.

Ejemplo ilustrativo 1 Supongamos que se calcula 𝑡 horas después de comenzar a trabajar a las 7 A.M., un obrero que labora en el departamento de ensamblaje ha realizado una tarea determinada en 𝑓 𝑡 unidades y 𝑓 𝑡 =21𝑡− 9𝑡 2 − 𝑡 3 0≤𝑡≤5 Grafique en el intervalo 0≤𝑡≤5.

Ejemplo ilustrativo 1 Observemos que 𝑓´´ 𝑡 >0 si 0<𝑡<3 y 𝑓´´ 𝑡 <0 si 3<𝑡<5. Como 𝑓´´ 𝑡 >0 cuando 0<𝑡<3, 𝑓´ 𝑡 es creciente en 0,3 y la gráfica es cóncava hacia arriba cuando 0<𝑡<3. Ya que 𝑓´´ 𝑡 <0 cuando 3<𝑡<5, 𝑓´ 𝑡 decrece en 3,5 ; la gráfica es cóncava hacia abajo cuando 3<𝑡<5.

Ejemplo ilustrativo 1 Ya que 𝑓´ 𝑡 es la intensidad de cambio de 𝑓 𝑡 con respecto a 𝑡 concluimos que en las tres primeras horas de (7 A.M. a 10 A.M.) el obrero realiza su labor a una razón creciente y en las 2 horas restantes de (10 A.M. a 12 A.M.) la realiza a una razón decreciente.

Ejemplo ilustrativo 1 En 𝑡=3 (10 A.M.) la producción del obrero es más eficiente y cuando 3<𝑡<5 (después de las 10 A.M.) hay una reducción en el nivel de producción del obrero. El punto en el cual su producción es más eficiente se denomina punto de rendimientos decrecientes. En este ejemplo, en el punto de rendimientos decrecientes hay una variación en el sentido de concavidad de la gráfica. A dicho punto se le llama punto de inflexión.

Ejemplo ilustrativo 2 Se calcula que 𝑡 meses después del 1 de enero hasta el 1 de julio, el precio de una cierta mercancía será 𝑃 𝑡 centavos, donde 𝑷 𝒕 =𝟒𝟎+ 𝟑𝒕 𝟐 − 𝟏 𝟑 𝒕 𝟑 ; 𝟎≤𝒕≤𝟔.

Definición: Punto de inflexión El punto 𝑐, 𝑓 𝑐 es un punto de inflexión de la gráfica de la función 𝑓, si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto 𝐼 que contenga a 𝑐, tal que si 𝑥 está en 𝐼, entonces: 𝑓´´ 𝑥 <0 si x<c y 𝑓´´ 𝑥 >0 si 𝑥>𝑐, o bien, 𝑓´´ 𝑥 >0 si 𝑥<𝑐 y 𝑓´´ 𝑥 <0 si 𝑥>𝑐.

Punto de inflexión

Punto de inflexión La definición anterior de punto de inflexión no indica nada acerca del valor de la segunda derivada ahí. El teorema siguiente afirma que si la segunda derivada existe en un punto de inflexión, debe ser cero ahí.

Teorema Si la función 𝑓 es diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a 𝑐, y si 𝑓 𝑐, 𝑓 𝑐 es un punto de inflexión de la gráfica de 𝑓, entonces, si 𝐟´´ 𝐜 existe, 𝐟´´ 𝐜 =𝟎.

Consideraciones 1. Consideremos la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 . ¿Cuál es 𝑓´ 𝑥 ?, y ¿𝑓´´ 𝑥 ?. Ahora, ¿Dónde 𝑓´´ 𝑥 =0?. Finalmente, preguntémonos ¿Es 𝑓´´ 𝑥 <0 o 𝑓´´ 𝑥 >0 cuando 𝑥<𝑐? Y ¿Cuándo 𝑥>𝑐 qué comportamiento tiene 𝑓´´ 𝑥 ?

Consideraciones 2. Consideremos la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 1 3 . Grafiquémosla. ¿Cuál es 𝑓´ 𝑥 ?, y ¿𝑓´´ 𝑥 ?. Ahora, ¿Dónde 𝑓´´ 𝑥 =0?. Ahora bien, en 𝑥=0, 𝑓´´ 𝑥 no existe. Finalmente, preguntémonos ¿Es 𝑓´´ 𝑥 <0 o 𝑓´´ 𝑥 >0 cuando 𝑥<𝑐? Y ¿Cuándo 𝑥>𝑐 qué comportamiento tiene 𝑓´´ 𝑥 ? En consecuencia 𝒇 tiene un punto de inflexión en 𝟎,𝟎 .