OPERACIONES CON ENTEROS TEMA 2 OPERACIONES CON ENTEROS

Propiedades de los números naturales. Suma Producto COMMUTATIVA a+b = b+a a.b = b .a ASOCIATIVA (a+b)+ c = a +(b+c) (a.b).c = a.(b.c) ELEMEN. NEUTRO a+0 = a a.1 = a DISTRIBUTIVA a.(b+c) = a.b+a.c

EJEMPLO DE PROPIEDAD COMMUTATIVA 2 + 3 = 3 + 2 , pues 5 = 5 2.3 = 3.2 , pues 6 = 6 EJEMPLO DE PROPIEDAD ASOCIATIVA 2+(3+4) = (2+3)+4 2 + 7 = 5 + 4 9 = 9 2.(3.4) = (2.3).4 2.12 = 6.4 24 = 24

EJEMPLO DE PROPIEDAD ELEMENTO NEUTRO 2 + 0 = 2 ; 2.1 = 2 EJEMPLOS DE PROPIEDAD DISTRIBUTIVA 2.(3+4) = 2.3+2.4 2.7 = 6 + 8 14 = 14 5.(3+4) = 5.3+5.4 5.7 = 15 + 20 35 = 35

SACAR FACTOR COMÚN Si tenemos 12 + 15 , a veces nos interesa sacar factor común. 12 = 3.4 15 = 3.5 El 12 y el 15 tienen un factor común, que es el 3. Lo extraemos: 12 + 15 = 3.4 + 3.5 = 3.(4+5) Vemos si es verdad: 12 + 15 = 3.(4+5) , 27 = 3.9 , 27 = 27 La operación de sacar factor común es la inversa de aplicar la propiedad distributiva.

DIVISIÓN EXACTA: D =d.c Si un número (D=dividendo) se divide entre otro (d=divisor), se obtiene el cociente (c ). Si el resto es 0 entonces la división es exacta. DIVISIÓN ENTERA: D=d.c+r Si hay resto distinto de 0, entonces la división es entera.

EJEMPLO DE DIVISIÓN EXACTA: 12 : 6 = 2  D =d.c  12 = 6.2 Pues D=12, d=6 y c=2 EJEMPLO DE DIVISIÓN ENTERA: 13 : 5 = 2 y de resto 3  D=d.c+r  13 = 5.2 + 3

Propiedades de los números ENTEROS Suma Producto ELEMENTO OPUESTO a+(-a) = 0 ASOCIATIVA (a+b)+ c = a +(b+c) (a.b).c = a.(b.c) ELEMEN. NEUTRO a+0 = a a.1 = a ELEMENTO INVERSO a. 1/a = 1 DISTRIBUTIVA a.(b+c) = a.b+a.c

+.+ = + , + . - = - , - . + = - , - . - = + REGLA DE LOS SIGNOS: +.+ = + , + . - = - , - . + = - , - . - = + Ejemplos: 4.(-3) = - 12 (-3).4 = - 12 6.7 = 42 (-6).(-7) = 42

+:+ = + , + : - = - , - : + = - , - : - = + REGLA DE LOS SIGNOS: +:+ = + , + : - = - , - : + = - , - : - = + Ejemplos: 12 : (-3) = - 4 (- 12 ) : 4 = - 3 14 : 7 = 2 (- 18 ) : (- 3 ) = 6

Valor ABSOLUTO de un número El que resulta al suprimir el signo. Ejemplos: |34| = 34 |- 45| = 45 Si el número es positivo, queda positivo. Si el número es negativo, queda positivo. Propiedades: |a+b| ≤ |a|+|b| |a.b| = |a|.|b|

Ejemplos de valor absoluto Sea a = - 4 y b = 5 Comprobar que |a+b| ≤ |a|+|b| |-4+5| ≤ |-4|+|5| |1| ≤ 4 + 5 1 ≤ 9 , que es cierto Comprobar que |a.b| = |a|.|b| |(-4).(5)| = |-4|.|5| |-20| = 4.5 20 = 20 , que es cierto

Ejemplos de valor absoluto Sea a = - 3 y b = - 7 Comprobar que |a+b| ≤ |a|+|b| |(- 3)+(- 7)| ≤ |- 3|+| - 7| |- 10| ≤ 3 + 7 10 ≤ 10 , que es cierto Comprobar que |a.b| = |a|.|b| |(-3).(- 7)| = |- 3|.|- 7| |21| = 3.7 21 = 21 , que es cierto

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES Cuando hay mezcla de sumas, productos, paréntesis, etc… Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay. Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera. Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay. Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay. Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.

Ejemplo: 5 + 4 – 7 – 2 + 6 = Todas son sumas o restas, presentan el mismo orden jeraquico. Operamos de izquierda a derecha: = 5 + 4 – 7 – 2 + 6 = = 9 – 7 – 2 + 6 = = 2 – 2 + 6 = = 0 + 6 = = 6

Ejemplo: 8 : 4 . 7 : 2 : 7 = Todas son productos o divisiones, presentan el mismo orden jeraquico. Operamos de izquierda a derecha: = 8 : 4 . 7 : 2 : 7 = = 2. 7 : 2 : 7 = = 14 : 2 : 7 = = 7 : 7 = = 1

Ejemplo: 5 + 4.3 – 7.9 + 40:5 = Hay sumas, restas, productos y divisiones. Primero efectuamos los productos y divisiones de izquierda a derecha: = 5 + 4.3 – 7.9 + 40:5 = = 5 + 12 – 7.9 + 40:5 = = 5 + 12 – 63 + 40:5 = = 5 + 12 – 63 + 8 = Y después las sumas y restas de izquierda a derecha: = 17 – 63 + 8 = = – 46 + 8 = = - 38

Ejemplo: 5 + 4.(3 – 7).9 + 40:5 = Vemos que hay un paréntesis. Será lo primero que efectuemos: = 5 + 4.(-4).9 + 40:5 = Luego productos y divisiones, de izquierda a derecha: = 5 + (-16).9 + 40:5 = = 5 + (-144) + 40:5 = = 5 + (-144) + 8 = Y después las sumas y restas de izquierda a derecha: = 5 - 144 + 8 = = – 139 + 8 = = - 131

Ejemplo: 5 + 4.[3 – 7.(9 – 2)] : 4. 5 + 2 = Vemos que hay un paréntesis anidado. Queda: 5 + 4.[3 – 7.7] : 4. 5 + 2 = En el paréntesis que queda hay restas y productos. 5 + 4.[3 – 49] : 4. 5 + 2 = 5 + 4.[ – 46] : 4. 5 + 2 = Vemos que hay sumas, productos y divisiones. 

 5 + 4.[ – 46] : 4. 5 + 2 = Vemos que hay sumas, productos y divisiones. Productos y divisiones de izquierdas a derecha, quedando: 5 + [ – 184] : 4. 5 + 2 = 5 + [ – 46] . 5 + 2 = Finalmente las sumas y restas de de izquierdas a derecha, quedando: 5 + [ – 230] + 2 = - 225 + 2 = - 223