CAMPOS VECTORIALES DEFINICIÓN DOMINIO . REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA OPERACIONES LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN EL OPERADOR «NABLA» DIVERGENCIA Y ROTACIONAL CAMPOS CONSERVATIVOS ROSA N. LLANOS VARGAS

CAMPOS VECTORIALES Definición.- Sean los subconjuntos no vacíos A y B , A ⊂ 𝑅 𝑛 , 𝐵⊂ 𝑅 𝑚 ,𝑚,𝑛 ∈ ℤ + , una función vectorial , F, talque a cada vector 𝑎 de A le hace corresponder a lo más un vector 𝑏 de B , y 𝑏 = F( 𝑎 ). Simbólicamente, F: A ⊂ 𝑅 𝑛 →𝐵⊂ 𝑅 𝑚 𝑎 ⟼ 𝑏 = F( 𝑎 )= ( 𝐹 1 𝑎 , 𝐹 2 𝑎 , 𝐹 3 𝑎 , …, 𝐹 𝑚 𝑎 ) Donde cada función componente es 𝐹 𝑖 :𝐴⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑎 ⟼𝑧 = 𝐹 𝑖 ( 𝑎 ) DOMINIO . 𝐷𝑜𝑚𝐹= 𝑖=1 𝑚 𝐷𝑜𝑚( 𝐹 𝑖 ) F se llama CAMPO VECTORIAL. Los campos vectoriales reciben nombres de acuerdo a la interpretación física de los vectores que lo constituyen ,asi puede tenerse un campo de velocidades, de fuerzas, gravitatorio o eléctrico.

Geométricamente F representa un campo de vectores. Ejemplo . Represente gráficamente el campo vectorial definido por: F : 𝑅 2 → 𝑅 2 / F ( x, y ) = ( − y, x ) Solución Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función F ( x, y ) , como por ejemplo Punto Vector (1,1) F(1,1)= ( −1,1) (-1,1) F ( −1,1) = ( −1, −1) (-1,-1) F ( −1, −1) = (1, −1) (1,-1) F (1, −1) = (1,1) . Luego tomamos, el primer vector resultante (-1,1) teniendo como punto inicial al punto (1,1); procediendo con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo FIg-.1 vectorial que se muestra en la Figura 1.

Si se requiere tener una representación con mayor cantidad de vectores de estos campos Vectoriales computarizados, obteniéndose representaciones como las que se muestran en las Figuras, puede recurrirse a calculadores graficadores o programas Computacionales OPERACIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Con campos vectoriales se puede calcular la suma, diferencia, producto por una función escalar, el producto escalar

Algunas propiedades 1. 2. 3.

DERIVACIÓN . Sea 𝑭: 𝑹 𝒏 → 𝑹 𝒎 es diferenciable en a ∈ 𝑹 𝒏 si F está definida en una Vecindad V( a, 𝜹) y existe una matriz A mxn de orden mxn , talque para todo a+h en V, Se cumple F(a+h) = F(a) + A mxn h nx1 + g(x,h) . Donde g(x,h) →0 , si h → 0 A = DF(a) , dF(a,h) = A mxn h nx1 PROPOSICIÓN. La función 𝑭: 𝑹 𝒏 → 𝑹 𝒎 es diferenciable en el punto a de su dominio si Y solo si cada una de las funciones componentes de F es diferenciable en a. F= ( 𝒇 𝟏 , 𝒇 𝟐 , 𝒇 𝟑 , … , 𝒇 𝒎 ) 𝑫𝑭 𝒂 = 𝝏 𝒇 𝟏 𝝏 𝒙 𝟏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟏 𝝏 𝒙 𝟐 (𝒂) . . . 𝝏 𝒇 𝟏 𝝏 𝒙 𝒏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟐 𝝏 𝒙 𝟏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟐 𝝏 𝒙 𝟐 (𝒂) . . . 𝝏 𝒇 𝟐 𝝏 𝒙 𝒏 (𝒂) . . . 𝝏 𝒇 𝒎 𝝏 𝒙 𝟏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝒎 𝝏 𝒙 𝟐 (𝒂) . . . 𝝏 𝒇 𝒎 𝝏 𝒙 𝒏 (𝒂) = 𝜵 𝒇 𝟏 (𝒂) 𝜵 𝒇 𝟐 (𝒂) . . . 𝜵 𝒇 𝒎 (𝒂) Llamada Matriz jacobiana de F

Teorema. Si F y G son campos vectoriales definidos y diferenciables sobre un dominio común D, y si X es un elemento en D, entonces D(F + G ) = DF + DG D(F . G )= F . DG + (DF) . G D(F x G) = F x DG + (DF) x G D(φ F) = φ DF + (Dφ)F , donde φ : R → R LA COMPOSICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Sean G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 ; F : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 ;𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐹 𝑜 𝐺 : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑝 entonces 𝐹 𝑜 𝐺 (X) = F( 𝐺 1 𝑋 , 𝐺 2 𝑋 , 𝐺 3 𝑋 , …, 𝐺 𝑚 𝑋 ) Si U = ( 𝐺 1 𝑋 , 𝐺 2 𝑋 , 𝐺 3 𝑋 , …, 𝐺 𝑚 𝑋 ) entonces 𝐹 𝑜 𝐺 (X) = ( 𝐹 1 𝑈 , 𝐹 2 𝑈 , 𝐹 3 𝑈 , …, 𝐹 𝑝 𝑈 )

TEOREMA. A) Si G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 es continua en A y si F : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 es continua en G(A), Entonces 𝐹 𝑜 𝐺 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝐴. B) Si G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 , y si lim 𝑋→𝐴 𝐺 𝑋 =𝐵 , 𝑠𝑖 𝐹: 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝐵 𝑦 𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 de acumulación de Dom(FoG) , entonces lim 𝑋→𝐴 𝐹 𝑜 𝐺 𝑋 =𝐹 𝐵 =𝐹 lim 𝑋→𝐴 𝐺(𝑋)

TEOREMA. Si G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 es diferenciable en D , siendo D un subconjunto abierto de 𝑅 𝑛 y si F : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑅𝑎𝑛 𝐺 ;𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑜 𝐺 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐷, 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 D(FoG) = DF[G(X)] DG(X) = F’ [G(X)]G’(X) D(FoG) = [J(F)(G(X)] 𝑝𝑥𝑚 𝐽(𝐺 𝑋 ) 𝑚𝑥𝑛

DERIVADA DIRECCIONAL : de un campo vectorial F : 𝑹 𝒏 → 𝑹 𝒎 con respecto al vector v en el punto a es el vector denotado por : 𝑫 𝒗 𝑭 𝒂 = 𝜵 𝒇 𝟏 𝒂 . 𝒗 ,𝜵 𝒇 𝟐 𝒂 . 𝒗 , . . . ,𝜵 𝒇 𝒎 𝒂 . 𝒗 Ejemplo . Derivar y diferenciar F(x,y,z) = ( x sen y + cosz, x 𝒆 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒛) 2)F(x,y, z ) = 𝒙 𝟑 𝒚 +𝟕𝒛, 𝒚 𝒙 𝟐 𝟑 𝒛 , 𝟖𝒛+𝟕𝒛𝒚 3) F(x , y ) = ( xcos(xy) , 𝟑 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟑 , 𝒚𝒔𝒆𝒏𝒙 )

EL OPERADOR DIFERENCIAL «NABLA» : ∇. ∇=( 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 , 𝜕 𝜕𝑧 ) , de modo que si 1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR f es un campo escalar , entonces ∇f = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑘 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓. 2.LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL. F(X,Y,Z) = ( 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 , 𝐹 2 𝑥,𝑦,𝑧 , 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 ) ∇. F = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑧 ∇. F = Div(F)

La notación de producto escalar utilizada para la divergencia proviene de considerar a 𝛻 como un operador diferencial en el siguiente sentido: 𝛻.𝐹 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖+ 𝜕 𝜕𝑦 𝑗+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 . 𝑀𝑖+𝑁𝑗+𝑃𝑘 De donde, 𝛻.𝐹 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜕𝑀 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁 𝜕𝑦 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧

INTERPRETACION . La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante Y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control ; por tanto, si el campo tiene «fuentes» y « sumideros», la Divergencia de dicho campo será diferente de cero. Si F representa el flujo de un fluido, su divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Si div(F) < 0 , el campo se está comprimiendo, posee «sumideros» Si div(F) >0 , el campo se está expandiendo , posee «fuentes» Si div(F) =0 , el campo es incompresible Conforme el fluido se mueve el volumen (área) de control se comprime , expande O queda igual .

3. EL ROTACIONAL En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es una operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto.

Si F = Pi+Qj + Rk es un campo vectorial de 𝑅 3 y existen todas las derivadas parciales de P , Q , R entonces el rotacional de F es el campo vectorial definido por: 𝑟𝑜𝑡𝐹= 𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧 𝑖+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑗+ 𝜕𝑄 𝜕𝑧 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑘 Por otro lado si se considera 𝛻= 𝜕 𝜕𝑥 𝑖+ 𝜕 𝜕𝑦 𝑗+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 tambien se tendrá 𝛻×𝐹= 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 = 𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧 𝑖+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑗+ 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑘 = rotF

PROPIEDADES DEL OPERADOR « ∇» Sean F y G dos campos vectoriales y 𝜑 un campo escalar 1. ∇x (F ± G) = ∇x F ± ∇xG 2. ∇x (k F) = k ∇x F, k∈𝑅 3. ∇x (𝜑 F) = (∇𝜑)x F + 𝜑(𝛻×𝐹) 4. ∇. (𝜑 F) = (∇𝜑). F + 𝜑(𝛻.𝐹) 5. Div(F x G ) = G. rotF - F. rotG ; es decir: ∇. (F x G )= G. (∇ x F ) – F . (∇ x G)

1) Sea f : 𝑅 3 →𝑅, 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝛁. 𝛁𝒇 = 𝛁 𝟐 𝒇= ∆𝐟 EL OPERADOR LAPLACIANO 1) Sea f : 𝑅 3 →𝑅, 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝛁. 𝛁𝒇 = 𝛁 𝟐 𝒇= ∆𝐟 𝛁. 𝛁𝒇 =𝛁. 𝝏𝒇 𝝏𝒙 , 𝝏𝒇 𝝏𝒚 , 𝝏𝒇 𝝏𝒛 Luego, 𝛁 𝟐 𝒇= 𝝏 𝟐 𝒇 𝝏 𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒇 𝝏 𝒚 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒇 𝝏 𝒛 𝟐 ∆ = ( 𝝏 𝟐 𝝏 𝒙 𝟐 , 𝝏 𝟐 𝝏 𝒚 𝟐 , 𝝏 𝟐 𝝏 𝒛 𝟐 ) se llama «Operador Laplaciano» 2)Si F: 𝑅 3 → 𝑅 3 ,es un campo vectorial talque F(x,y,z )=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), entonces 𝛁 𝟐 𝑭= ( 𝛁 𝟐 𝑷, 𝛁 𝟐 𝑸, 𝛁 𝟐 𝑹)

CAMPOS CONSERVATIVOS. El campo vectorial F es conservativo si existe una función escalar f tal que 𝛻𝑓=𝐹.;𝑓 Se llama «función potencial» Si F ( x,y) = ( P(x,y) , Q( x, y )) es conservativo si 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 𝜕𝑃 𝜕𝑦 Si F(x, y, z ) = ( P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) es conservativo si rot (F) = 0 comprobar si Fes conservativo y hallar la función potencial en caso de serlo. F(x,y ) = −𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 , 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 +2𝑦 2)F(x,y)= xzi + xyz j - 𝑦 2 𝑘 3) F(x,y,z) = (2xy , 𝑥 2 + 𝑦 2 , 2zy) Solución 1) 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 +2𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 −𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 ⟺ 𝑦 2 − 𝑥 2 𝑥 2 +𝑦 2 2 = 𝑦 2 − 𝑥 2 𝑥 2 +𝑦 2 2 Luego F es conservativo

Debe hallarse la función potencial , existe un campo escalar f , talque 𝛻𝑓=𝐹 , es decir 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = −𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 ∧2) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 +2𝑦 Integrando 1) con respecto a x , se tiene, f(x,y)= −𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 𝑑𝑥=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑦 +𝑔 𝑦 f(x,y)= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑦 +𝑔 𝑦 ………..3) Derivando miembro a miembro 3) con respecto a y, e igualando a 2), resulta, 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑔′(𝑦)= 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 +2𝑦 Simplificando, queda 𝑔 ′ 𝑦 = 2𝑦 Integrando ambos miembros con respecto a y , se obtiene; g(y) = 𝑦 2 +𝐶 ……. 4) Reemplazando 4) en 3) f(x,y)= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 + C , es la función potencial.

Ejemplo 2. Si F = xzi + xyz j - 𝑦 2 𝑘 ; hallar rot F Solución 𝛻×𝐹= 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑧− 𝑦 2 = 𝜕(− 𝑦 2 ) 𝜕𝑦 − 𝜕𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑧 𝑖− 𝜕(− 𝑦 2 ) 𝜕𝑥 − 𝜕𝑥𝑧 𝜕𝑧 𝑗+ 𝜕𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝑥𝑧 𝜕𝑦 𝑘 = (-2y - xy) i - (0 – x ) j + (yz – 0 ) k El campo no es conservativo Ejemplo 3.F(x,y,z)= (2xy, 𝑥 2 + 𝑦 2 , 2zy) Rot(F)= 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦)− 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑖− 𝜕 𝜕𝑥 (2𝑧𝑦)− 𝜕 𝜕𝑧 (2𝑥𝑦) 𝑗+ 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 )− 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦) 𝑘 = ( 2x , 0 , 0 ) ≠ 0,0,0 Luego el campo no es conservativo

Ejemplo 3. determinar si el campo vectorial definido por F(x,y,z)= (2xy , 𝑥 2 +2yz, 𝑦 2 ) es un campo conservativo Solución El campo es conservativo si rot(F = 0 . Rot(F) = 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝑦 2 )− 𝜕 𝜕𝑧 𝑥 2 +2𝑦𝑧 , 𝜕 𝜕𝑧 (2𝑥𝑦) − 𝜕 𝜕𝑥 (𝑦 2 ), 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥 2 +2𝑦𝑧)− 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦) = ( 2y-2y , 0 , 2x-2x )= ( 0 , 0 , 0) ; entonces el campo es conservativo. Existe una función escalar f tal que 𝛻𝑓=𝐹 ⟺ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 , 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 2𝑥𝑦, 𝑥 2 +2𝑦𝑧, 𝑦 2 1) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =2𝑥𝑦 , 2) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 2 +2𝑦𝑧 , 3) 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝑦 2 Integrando ambos miembros de 1) con respecto a x, resulta f(x,y,z) = 𝑥 2 𝑦+ℎ 𝑦, 𝑧 …………………………4) Derivando f con respecto a y e igualando con 2) 𝑓 𝑦 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 + ℎ 𝑦 𝑦,𝑧 = 𝑥 2 +2𝑦𝑧⟹ ℎ 𝑦 𝑦,𝑧 =2𝑦𝑧 Integrando ambos miembros de la última ecuación con respecto a y, resulta h(y,z) = 𝑦 2 𝑧+𝑘 𝑧 ……………………5) Derivando con respecto a z e igualando a 3), se tiene, ℎ 𝑧 𝑦,𝑧 = 𝑦 2 + 𝑘 ′ 𝑧 = 𝑦 2 ⟹ 𝑘 ′ 𝑧 =0⟹𝑘 𝑧 =𝐶. 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 h(y,z)= 𝑦 2 𝑧 + C ; luego de reemplazar en 4) , tendremos la función potencial f(x,y,z) = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧+𝐶