Teoria de errores

Cifras significativas Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

ejemplo El velocímetro y el odómetro de un automóvil ejemplifica el concepto de cifras significativas.

Exactitud y precisiòn La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan los requisitos de un problema particular.

ejemplo Un ejemplo de puntería ilustra los conceptos de exactitud y precisión. Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

Definición de error Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por:   (1) Reordenando la ecuación (1) se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir: (2) Donde se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se trata del error “verdadero” (true). Una manera de tomaren cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir error verdadero donde, como ya se mencionó en la ecuación (2), error = valor verdadero – valor aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como:

Error de redondeo Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Los números tales como π, e no pueden expresarse con un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora. Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10. Esta diferencia por la omisión de cifras significativas se llama error de redondeo.

Error de truncamiento Este error se comete al sustituir un proceso de cálculo infinito o infinitesimal por uno finito, mientras que el error de redondeo se produce al representar y luego operar los números con menos cifras que las que realmente poseen. Este tipo de error ocurre al trabajar con una calculadora o con una computadora debido a la capacidad finita de su memoria, pero también está presente al efectuar cálculos manuales aproximados.