Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE (Mini) Cursos Propedéuticos 2012 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Hugo Jair Escalante Oficina 8319 Este material se basa en versiones previas del mismo por: Dr. Enrique Muñoz de Cote Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor

1. Series Notación Series y recurrencias Manipulación de series Series múltiples

 Una serie o secuencia o sucesión es una lista donde se toma en cuenta el orden. Cada elemento en la serie tiene un número índice asociado Puede ser infinita  Una sumatoria es una notación compacta para la suma de todos los términos en una serie posiblemente infinita

 Se denota por s ó {s n }, y por s n identificamos al n-ésimo elemento de la serie  Una secuencia o serie {a n } se identifica con una función generatriz f :S  A de algún subconjunto S  N y para algún conjunto A.  Si f es una función generatriz de una serie {a n }, entonces para n  S, el símbolo a n denota f(n), también llamado término n de la serie. El índice de a n es n (comúnmente se intercambia por i)

 Una serie se denota comúnmente por una lista de sus primeros y/o últimos elementos.  Ejemplo “{a n } = 0, 1, 4, 9, 16, 25, …” es equivalente a  n  N, a n = n 2.

 Un ejemplo de una serie infinita: Considere la serie {a n } = a 1, a 2, … donde (  n  1) a n = f(n) = 1/n Equivalentemente: {a n } = 1, 1/2, 1/3, …  Una serie puede contener instancias repetidas de un elemento Considere la secuencia {b n } = b 0, b 1, … (notar que 0 es un índice) donde b n = (  1) n. {b n } denota una secuencia infinita de 1’s y  1’s, no el conjunto con 2 elementos {1,  1}.

 Algunas veces sólo se proporcionan los primeros términos de una secuencia Encontrar cuál es la función generatriz, ó Procedimiento para enumerar la secuencia  ¿Cuál es el siguiente elemento de la secuencia? 1, 2, 3, 4,... 1, 3, 5, 7, 9, … 2, 3, 5, 7, 11, …

 Sea  un conjunto finito de símbolos, i.e. un alfabeto Una cadena sobre el alfabeto  es cualquier secuencia {s i } de símbolos, s i , normalmente indexados por N.  Si a, b, c, … son símbolos, la cadena s = a, b, c, … puede escribirse como abc…  Si s es una cadena finita y t es cualquier otra cadena, entonces la concatenación de s con t, se denota como st

 La longitud |s| de una cadena finita s es el número de posiciones (i.e., el número de valores del índice i).  Si s es una cadena finita y n  N, Entonces s n denota la concatenación de n copias de s.  Ejemplos s = abc| s | = 3 t = de| t | = 2 st = abcdets = deabc s 2 t 3 = abcabcdedede

 Dada una serie {a n }, una cota inferior entera (o límite) j  0, y una cota superior entera k  j, entonces la sumatoria de {a n } de j a k se define y denota por:  i se denomina índice de la sumatoria

Para una serie infinita, se puede denotar: Para sumar una función sobre todos los miembros de un conjunto X={x 1, x 2, …}: Si X={x|P(x)}, se puede escribir

 Sumatoria finita

 Una serie infinita con un resultado finito  Uso de predicados para definir un conjunto de elementos sobre una sumatoria

 Algunas identidades útiles:

 Otras identidades útiles:

 Ejemplo: Note la independencia de los límites de sumatoria

 Evalué la sumatoria:  1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n Hay n/2 pares de elementos que suman n+1 … n+1

 Evalué la sumatoria:  1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n Hay n/2 pares de elementos que suman n+1 … n+1

 Una progresión geométrica es una serie de la forma a, ar, ar 2, ar 3, …, ar k, donde a, r  R  Por ejemplo, 5,15,45,135… es una progresión geométrica con razón r=3, ya que: 5 × 3 = 15 5 × 3 2 = 45 5 × 3 3 = 135 y así sucesivamente.

Sea: s = a+ar+ar ar n-1 Al multiplicar por r sr =ar+ar 2 +ar ar n Entonces s – sr = s(1-r) = a – ar n Por lo tanto:

 De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma.

 Cuando n tiende a infinto, el valor absoluto de r tiene que ser < 1 para que la serie no diverga  Para r < 1, la suma queda:

Sea: s = 1 + r + r 2 + … Al multiplicar por r sr =r+r 2 +r Entonces s – sr = s(1-r) = 1 Por lo tanto: Y